Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№840 учебника 2023-2026 (стр. 209):
Докажите, что при любых значениях \(a\), \(b\) и \(c\) график функции \(y=(x-a)(x-b)-c^2\) имеет хотя бы одну общую точку с осью \(x\).
№840 учебника 2014-2022 (стр. 216):
Решите уравнение:
а) \(\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!} = 42\)
б) \(\dfrac{(n+1)! - n!}{(n+1)!} = \dfrac{5}{6}\)
№840 учебника 2023-2026 (стр. 209):
Вспомните:
№840 учебника 2014-2022 (стр. 216):
Вспомните:
№840 учебника 2023-2026 (стр. 209):
\(y=(x-a)(x-b)-c^2\)
Нули функции:
\((x-a)(x-b)-c^2 = 0\)
\(x^2 - bx - ax + ab - c^2 = 0\)
\(x^2 -(a+b)x + (ab - c^2) = 0\)
\(A = 1\), \(B = -(a+b)\), \(C = ab - c^2\)
\(D = B^2 - 4AC = \)
\(=(-(a+b))^2 - 4\cdot1\cdot (ab - c^2)=\)
\(=(a + b)^2 - 4 \cdot (ab - c^2) =\)
\(=a^2 + 2ab + b^2 - 4ab + 4c^2 = \)
\( =(a^2 - 2ab + b^2) + 4c^2 = \)
\(=(a-b)^2 - 4c^2.\)
\((a-b)^2 \ge 0\) при любых \(a\) и \(b\), \(4c^2 \ge 0\) при любом \(c\), тогда
\((a-b)^2 - 4c^2 \ge 0\) при любых \(a\), \(b\), \(c\).
\(D \ge 0\), поэтому график функции \(y=(x-a)(x-b)-c^2\) имеет хотя бы одну общую точку с осью \(x\).
Пояснения:
1. Что значит «имеет общую точку с осью \(Ox\)».
График имеет общую точку с осью \(Ox\), если существует такое \(x_0\), что \(y(x_0)=0\). То есть уравнение
\((x-a)(x-b)-c^2=0\) должно иметь хотя бы одно действительное решение.
2. Приведение к квадратному уравнению.
Раскрываем скобки:
\[y=x^2-(a+b)x+ab-c^2.\]
Это парабола (квадратичная функция) с ветвями вверх.
3. Самый короткий путь: дискриминант.
Нули функции — корни уравнения
\[x^2-(a+b)x+ab-c^2=0.\]
Дискриминант:
\[D=(a-b)^2+4c^2.\]
Так как \((a-b)^2\ge0\) и \(4c^2\ge0\), то
\[D=(a-b)^2+4c^2\ge0.\]
Следовательно, квадратное уравнение имеет хотя бы один действительный корень, значит график пересекает ось \(Ox\) хотя бы в одной точке.
№840 учебника 2014-2022 (стр. 216):
а) \(\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!} =42\)
\(\dfrac{(n+1)n\cancel{(n-1)!}}{\cancel{(n-1)!}} =42\)
\((n+1)n = 42\)
\(n^2 + n - 42 = 0\)
\(a=1\), \(b = 1\), \(c = -42\)
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(=1^2 - 4\cdot1\cdot(-42\) = \)
\(=1 + 168 = 169 > 0\) - два действительных корня.
\(n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt {169} = 13\)
\(n_1 = \frac{-1 + 13}{2\cdot1} = \frac{12}{2} = 6\).
\(n_2 = \frac{-1 - 13}{2\cdot1} = \frac{-14}{2} = -7 \notin N\)
Ответ: \(n = 6\).
б) \(\dfrac{(n+1)! - n!}{(n+1)!} = \frac{5}{6}\)
\(\dfrac{(n+1)n! - n!}{(n+1)n!} =\frac{5}{6}\)
\(\dfrac{n!(n+1-1)}{(n+1)n!} =\frac{5}{6}\)
\(\dfrac{\cancel{n!} \cdot n}{(n+1)\cancel{n!}} = \frac{5}{6}\)
\(\dfrac{n}{n+1} = \dfrac{5}{6}\)
\(6n = 5(n+1)\)
\(6n = 5n + 5\)
\(6n - 5n = 5\)
\(n = 5\)
Ответ: \(n = 5\).
Пояснения:
Основное свойство факториала:
\[ (n+1)! = (n+1)\cdot n! \]
\( (n-1)!\) используется для сокращения.
а) Раскрываем факториал:
\[ (n+1)! = (n+1)n(n-1)! \]
Сокращаем \((n-1)!\), получаем квадратное уравнение:
\[ n(n+1)=42 \]
Раскрываем скобки, переносим \(42\) в левую часть уравнения со сменой знака, получаем полное квадратное уравнение, которое имеет два корня: \(n = 6\) и \(n = -7\). Но отрицательный корень не подходит, так как \(n\) - натуральное число. Поэтому корень уравнения \(n = 6\).
б) В числителе выносим \(n!\):
\( (n+1)! - n! =\)
\((n+1)n! - n! =\)
\(=n!(n+1-1) \).
Сокращаем \(n!\) и получаем простую пропорцию:
\(\dfrac{n}{n+1} = \dfrac{5}{6}\).
Согласно основному свойству пропорции:
\(6n = 5(n+1)\).
Раскрыв скобки, переносим \(5n\) с противоположным знаком в левую часть уравнения, и приведя подобные в левой части уравнения, находим корень уравнения: \(n = 5\).
Вернуться к содержанию учебника