Упражнение 844 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(x^8+x^6-4x^4+x^2+1=\)

\(=(x^8-2x^4+1)+(x^6-2x^4+x^2)=\)

\(=(x^4 -1)^2 +x^2(x^4 - 2x^2 + 1) =\)

\( = (x^4 -1)^2 +x^2(x^2 - 1)^2 \)

\((x^4 -1)^2 \ge 0\) при любом \(x\).

\(x^2 \ge 0\) и \( (x^2 - 1)^2 \ge 0\) при любом \(x\), значит \(x^2(x^2 - 1)^2 \ge0 \)

Следовательно, многочлен

\(x^8+x^6-4x^4+x^2+1\)

не принимает отрицательных значений.

Пояснения:

Группируя одночлены, приводим многочлен к сумме квадратов двух выражений. Квадрат любого выражения является неотрицательным числом, значит сумма квадратов двух выражений также является неотрицательным числом, следовательно, рассматриваемый многочлен не принимает отрицательных значений.

Свойство степени:

\((a^m)^n = a^{mn}\).

Квадрат разности двух выражений:

\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\).

а) \(A_9^4 = \dfrac{9!}{(9-4)!} = \dfrac{9!}{5!} = \)

\(= \dfrac{\cancel{5!}\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9}{\cancel{5!}} =\)

\(=6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 = 3024\)

Ответ: 3024 способа.

б) \(A_9^3 = \dfrac{9!}{(9-3)!} = \dfrac{9!}{6!} =\)

\(= \dfrac{\cancel{6!}\cdot7\cdot8\cdot9}{\cancel{6!}} =\)

\(=7 \cdot 8 \cdot 9 = 504\)

Ответ: \(504\) способа.

Пояснения:

В этой задаче используется формула размещений:

\[ A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!} \]

Размещения применяются тогда, когда выбираются несколько объектов из \(n\), и при этом порядок выбора важен.

а) Все четыре пассажира должны ехать в разных вагонах.

Это значит, что нужно распределить 4 разных пассажиров по 4 разным вагонам из 9.

Так как пассажиры разные, важно, кто именно в какой вагон попадёт. Поэтому используем размещения из 9 по 4:

\[ A_9^4 = \dfrac{9!}{5!} \]

Раскрываем факториал:

\[ \dfrac{9!}{5!} = 3024. \]

б) Алексеев и Смирнов должны ехать в одном вагоне.

Тогда считаем их как одну общую группу.

Получаем уже не 4 отдельных объекта, а 3 объекта для размещения по вагонам:

\(1\) группа «Алексеев и Смирнов»,

\(2\) Фёдоров,

\(3\) Харитонов.

Эти 3 объекта должны ехать в разных вагонах. Значит, нужно разместить 3 разных объекта в 9 вагонах:

\[ A_9^3 = \dfrac{9!}{6!} \]

Раскрываем факториал:

\[ \dfrac{9!}{6!} = 504. \]

Здесь не нужно дополнительно умножать ни на что, потому что Алексеев и Смирнов уже должны ехать вместе, и внутри одного вагона их перестановка не создаёт нового способа размещения по вагонам.