Упражнение 842 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(y=x^2-4x+|2x-8|\)

Точки пересечения с осью \(Ox\):

\(y=0\)

\(x^2-4x+|2x-8|=0\)

\(2x - 8 = 0\)

\(2x = 8\)

\(x = \frac82\)

\(x = 4\)

\(|2x-8|=\begin{cases}2x-8,&x\ge4,\\-(2x-8),&x<4.\end{cases}\)

1) \(x\ge4\)

\(x^2-4x+2x-8=0\)

\(x^2-2x-8=0\)

\(a =1\),  \(b = -2\),  \(c = -8\)

\(D =b^2 - 4ac=\)

\(=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8)=\)

\(=4+32=36 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt {36} = 6\)

\(x_1=\dfrac{2+6}{2\cdot1} =\dfrac{8}{2} = 4\)

\(x_2=\dfrac{2-6}{2\cdot1} =\dfrac{-4}{2} = -2\) - не удовлетворяет условию \(x\ge4\).

2) \(x<4\)

\(x^2-4x-(2x-8)=0\)

\(x^2-6x+8=0\)

\(a =1\),  \(b = -2\),  \(c = -8\)

\(D=(-6)^2-4\cdot1\cdot8=\)

\(=36-32=4 > 0\) - два действительных корня.

\(\sqrt 4 = 2\)

\(x_1=\dfrac{6+2}{2\cdot 1} =\dfrac{8}{2} = 4\) - не удовлетворяет условию \(x<4\).

\(x_1=\dfrac{6-2}{2\cdot 1} =\dfrac{4}{2} = 2\)

\((2;0)\), \((4;0)\) - общие точки оси \(x\) и графика данной функции.

Ответ: \((2;0)\), \((4;0)\).

Пояснения:

1. Пересечение с осью \(Ox\).

Точки пересечения графика функции с осью \(x\) находятся из условия \(y=0\).

2. Раскрытие модуля.

Если в выражении есть модуль, нужно рассмотреть случаи по определению:

\[|A|=\begin{cases}A,&A\ge0,\\-A,&A<0.\end{cases}\]

Здесь \(A=2x-8\), поэтому граница случая \(x=4\).

3. Решение уравнений.

В каждом случае получаем квадратное уравнение. После решения нужно проверить, удовлетворяет ли найденный корень условию соответствующего промежутка.

4. Итог.

После проверки условий остаются два значения \(x=2\) и \(x=4\). Следовательно, график функции пересекает ось \(Ox\) в точках \((2;0)\) и \((4;0)\).

\(C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 + C_6^6=\)

\(=\frac{6!}{1!(6-1)!} +\frac{6!}{2!(6-2)!} + \frac{6!}{3!(6-3)!} + \frac{6!}{4!(6-4)!} +\frac{6!}{5!(6-5)!} + \frac{6!}{6!(6-6)!}=\)

\(=\frac{6!}{1!\cdot5!} +\frac{6!}{2!\cdot4!} + \frac{6!}{3!\cdot3!} + \frac{6!}{4!\cdot2!} +\frac{6!}{5!\cdot1!} + \frac{6!}{6!\cdot0!}=\)

\(=\frac{\cancel{5!}\cdot6}{\cancel{5!}} +\frac{\cancel{4!}\cdot5\cdot\cancel6  ^{\color{blue}{3}} }{1\cdot\cancel2\cdot\cancel{4!}} + \frac{\cancel{3!}\cdot4\cdot5\cdot\cancel6}{1\cdot\cancel2\cdot\cancel3\cdot\cancel{3!}} + \frac{\cancel{4!}\cdot5\cdot\cancel6  ^{\color{blue}{3}}}{\cancel{4!}\cdot1\cdot\cancel2} +\frac{\cancel{5!}\cdot6}{\cancel{5!}} + \frac{\cancel{6!}}{\cancel{6!}\cdot1}= 63\)

Ответ: 63 варианта.

Пояснения:

Используем сочетания, так как порядок приглашённых друзей не важен.

Формула сочетаний:

\[ C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \]

Антон может пригласить разное количество друзей — от 1 до 6. Поэтому нужно сложить все возможные варианты:

Пригласить 1 друга:

\[ C_6^1 = 6 \]

Пригласить 2 друзей:

\[ C_6^2 = 15 \]

Пригласить 3 друзей:

\[ C_6^3 = 20 \]

Пригласить 4 друзей:

\[ C_6^4 = 15 \]

Пригласить 5 друзей:

\[ C_6^5 = 6 \]

Пригласить 6 друзей:

\[ C_6^6 = 1 \]

Складываем все варианты:

\[ 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63 \]

Таким образом, всего 63 возможных варианта приглашения.