Упражнение 848 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(x^2-3{,}75x+a^3=0\)

Пусть корни уравнения \(x_1\) и \(x_2\).

\(x_2 = x_1^2\)

По теореме обратной теореме Виета:

\(\begin{cases}x_1+x_2=3{,}75,\\ x_1x_2=a^3\end{cases}\)

\(\begin{cases}x_1+x_1^2=3{,}75,\\ x_1x_1^2=a^3\end{cases}\)

\(\begin{cases}x_1+x_1^2=3{,}75,\\ x_1^3=a^3\end{cases}\)

\(\begin{cases}x_1+x_1^2=3{,}75,\\ x_1=a\end{cases}\)

\(\begin{cases}a + a^2=3{,}75,\\ x_1=a\end{cases}\)

\(a+a^2=3{,}75\)

\(a^2+a-3{,}75=0\)

\(D=1^2 - 4\cdot1\cdot(-3,75)=\)

\(=1+15=16 > 0\) - два действительных корня.

\(\sqrt{16} = 4\)

\(a_{1} = \frac{-1 + 4}{2\cdot1} = \frac{3}{2} = 1,5\).

\(a_{2} = \frac{-1 - 4}{2\cdot1} = \frac{-5}{2} = -2,5\).

\(a_1=1{,}5\)

\(a_2=-2{,}5\)

Ответ: при \(a=1{,}5\) или \(a=-2{,}5\).

Пояснения:

1. Формулы Виета.

Для квадратного уравнения

\(x^2+px+q=0\) выполняются формулы:

\[x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.\]

В нашем случае:

\[x_1+x_2=3{,}75,\qquad x_1x_2=a^3.\]

2. Условие задачи.

По условию один корень является квадратом другого. Пусть \(x_2 = x_1^2\).

3. Решение системы уравнений.

Решая систему уравнений методом подстановки находим два возможные значения:

\(a=1{,}5\) и \(a=-2{,}5\).

а) \(C_{12}^{4} = \dfrac{12!}{4!(12-4)!} = \dfrac{12!}{4!\cdot8!}=\)

\(= \dfrac{\cancel{12}\cdot11\cdot\cancel{10}  ^{\color{blue}{5}} \cdot9\cdot\cancel{8!}}{\cancel4\cdot\cancel3\cdot\cancel2\cdot1\cdot\cancel{8!}}=\)

\(=11\cdot5\cdot9 = 495\)

Ответ: \(495\) способов.

б) \(C_{12}^{5}=\dfrac{12!}{5!(12-5)!} = \dfrac{12!}{5!\cdot7!}=\)

\(= \dfrac{\cancel{12}\cdot11\cdot\cancel{10} \cdot9\cdot8\cdot\cancel{7!}}{\cancel5\cdot\cancel4\cdot\cancel3\cdot\cancel2\cdot1\cdot\cancel{7!}}=\)

\(=11\cdot 9\cdot 8 = 792\)

Ответ: \(792\) способа.

Пояснения:

Используем сочетания, так как важен только состав групп, а не порядок людей.

Формула сочетаний:

\[ C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \]

а) Группы имеют разный размер (4 и 8), поэтому достаточно выбрать 4 человек, остальные 8 определяются автоматически:

\[ C_{12}^{4} = 495 \]

б) Аналогично выбираем 5 человек, остальные 7 образуют вторую группу:

\[ C_{12}^{5} = 792 \]

Делить на 2 не нужно, так как группы различаются по количеству людей.