Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№839 учебника 2023-2026 (стр. 209):
При каком значении \(a\) сумма квадратов корней квадратного трёхчлена
\(x^2-(a-2)x-a-1\)
принимает наименьшее значение?
№839 учебника 2014-2022 (стр. 216):
Сократите дробь:
а) \(\dfrac{(n+1)!}{n!}\)
б) \(\dfrac{n!}{(n+2)!}\)
в) \(\dfrac{(n+3)!}{(n+1)!}\)
г) \(\dfrac{(n+1)!(n+3)}{(n+4)!}\)
д) \(\dfrac{(n+11)!n}{(n+10)!}\)
№839 учебника 2023-2026 (стр. 209):
Вспомните:
№839 учебника 2014-2022 (стр. 216):
Вспомните:
№839 учебника 2023-2026 (стр. 209):
\(x^2-(a-2)x-a-1 = 0\)
\(\begin{cases}x_1+x_2=a-2,\\ x_1x_2=-a-1\end{cases}\)
\(x_1^2+x_2^2 = \)
\(=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2 - 2x_1x_2 =\)
\(=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\)
\(=(a-2)^2-2(-a-1)=\)
\(=a^2-4a+4+2a+2=\)
\(=a^2-2a+6 =\)
\(=a^2-2a+1+5 =\)
\(=(a-1)^2+5\) - наименьшее значение будет при \(a=1\).
Ответ: при \(a = 1\).
Пояснения:
1. Формулы Виета.
Для квадратного уравнения
\(x^2+px+q=0\):
\(\begin{cases}x_1+x_2=-p,\\ x_1x_2=q\end{cases}\)
В нашем случае уравнение имеет вид
\[x^2-(a-2)x-a-1=0.\]
Поэтому:
\(\begin{cases}x_1+x_2=a-2,\\ x_1x_2=-a-1\end{cases}\)
2. Формула суммы квадратов корней.
Используем тождество:
\[x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.\]
Подставляя выражения из формул Виета, получаем функцию от параметра \(a\):
\[x_1^2+x_2^2=a^2-2a+6.\]
3. Нахождение минимума.
Это квадратичная функция. Представим её в виде полного квадрата:
\[a^2-2a+6=(a-1)^2+5.\]
Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому наименьшее значение выражение принимает, когда \((a-1)^2=0\), то есть при \(a=1\).
№839 учебника 2014-2022 (стр. 216):
а) \(\dfrac{(n+1)!}{n!} = \dfrac{(n+1)n!}{n!} = n+1\)
б) \(\dfrac{n!}{(n+2)!} = \dfrac{\cancel{n!}}{(n+2)(n+1)\cancel{n!}} =\)
\(=\dfrac{1}{(n+2)(n+1)}\)
в) \(\dfrac{(n+3)!}{(n+1)!} =\)
\(=\dfrac{(n+3)(n+2)\cancel{(n+1)!}}{\cancel{(n+1)!}} =\)
\(=(n+3)(n+2)\)
г) \(\dfrac{(n+1)!(n+3)}{(n+4)!} =\)
\(=\dfrac{\cancel{(n+1)!}\cancel{(n+3)}}{(n+4)\cancel{(n+3)}(n+2)\cancel{(n+1)!}} =\)
\(=\dfrac{1}{(n+4)(n+2)}\)
д) \(\dfrac{(n+11)!n}{(n+10)!} =\)
\(=\dfrac{(n+11)\cancel{(n+10)!}n}{\cancel{(n+10)!}} =(n+11)n\)
Пояснения:
Основное свойство факториала:
\[ (n+1)! = (n+1)\cdot n! \]
\[ (n+2)! = (n+2)(n+1)n! \]
\[ (n+k)! = (n+k)(n+k-1)\cdot \ldots \cdot n! \]
Суть решения — разложить факториал большего числа так, чтобы в выражении появился меньший факториал, после чего сократить одинаковые множители.
а) \((n+1)! = (n+1)n!\), сокращаем \(n!\).
б) \((n+2)! = (n+2)(n+1)n!\), сокращаем \(n!\).
в) \((n+3)! = (n+3)(n+2)(n+1)!\), сокращаем \((n+1)!\).
г) \((n+4)! = (n+4)(n+3)(n+2)(n+1)!\), сокращаем \((n+1)!\) и \((n+3)\).
д) \((n+11)! = (n+11)(n+10)!\), сокращаем \((n+10)!\).
Таким образом, все дроби упрощаются благодаря свойствам факториалов и сокращению одинаковых множителей.
Вернуться к содержанию учебника