Упражнение 515 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y-2x>2\)

\(y>2x+2\)

\(y=2x+2\)

\(M(-3;2)\) - решение неравенства.

\(2>2\cdot(-3) + 2\)

\(2 > -6 + 2\)

\(2 > - 4\) - верно.

б) \(x+y<-1\)

\(y<-x-1\)

\(y=-x-1\)

\(M(2; 3)\) - не является решением неравенства.

\(3<-2-1\)

\(3 < -3\) - неверно.

Пояснения:

Правила и приёмы, которые использовались:

1) Приведение линейного неравенства к виду \(y > kx+b\) или \(y < kx+b\), чтобы понять, какая полуплоскость является решением.

\(y-2x>2 \Rightarrow y>2x+2,\)

\(x+y<-1 \Rightarrow y<-x-1.\)

2) Построение границы: вместо знака \(>\) или \(<\) берут равенство и строят прямую.

Если неравенство строгое (\(>\) или \(<\)), то прямая не входит в решение (её рисуют пунктиром).

3) Определение нужной полуплоскости: выбирают точку и проверяют, удовлетворяет ли она неравенству. Если да — закрашивают полуплоскость, где лежит эта точка, если нет — противоположную.

а) \(\begin{cases}4x(x+y)+y^2=49,\\ 4x(x-y)+y^2=81\end{cases}\)

\(\begin{cases}4x^2+4xy+y^2=49,\\ 4x^2-4xy+y^2=81\end{cases}\)

\[ \begin{cases} (2x + y)^2=49,\\ (2x -y)^2=81 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} 2x + y=\pm7,\\ 2x -y=\pm9 \end{cases} \]

1) \( \begin{cases} 2x + y=7,\\ 2x -y=9 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=7 - 2x,\\ 2x -(7 - 2x)=9 \end{cases} \)

\(2x -(7 - 2x)=9\)

\(2x - 7 + 2x = 9\)

\(4x = 9 + 7\)

\(4x = 16\)

\(x = \frac{16}{4}\)

\(x = 4\)

\(y = 7 - 2\cdot4 = 7 - 8 = -1\).

2) \( \begin{cases} 2x + y=7,\\ 2x -y=-9 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=7 - 2x,\\ 2x -(7 - 2x)=-9 \end{cases} \)

\(2x -(7 - 2x)=-9\)

\(2x - 7 + 2x = -9\)

\(4x = -9 + 7\)

\(4x = -2\)

\(x = -\frac{2}{4}\)

\(x = -0,5\)

\(y = 7 - 2\cdot(-0,5) = 7 + 1 = 8\).

3) \( \begin{cases} 2x + y=-7,\\ 2x -y=9 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=-7 - 2x,\\ 2x -(-7 - 2x)=9 \end{cases} \)

\(2x -(-7 - 2x)=9\)

\(2x + 7 + 2x = 9\)

\(4x = 9 - 7\)

\(4x = 2\)

\(x = \frac24\)

\(x = 0,5\)

\(y = -7 - 2\cdot0,5 = -7 - 1 = -8\).

4) \( \begin{cases} 2x + y=-7,\\ 2x -y=-9 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=-7 - 2x,\\ 2x -(-7 - 2x)=-9 \end{cases} \)

\(2x -(-7 - 2x)=-9\)

\(2x + 7 + 2x = -9\)

\(4x = -9 - 7\)

\(4x = -16\)

\(x = -\frac{16}{4}\)

\(x = -4\)

\(y = -7 - 2\cdot(-4) = -7 + 8 = 1\).

Ответ: \((4;-1),\;(-4;1),\)

\((0,5;-8),\;(-0,5;8)\).

б) \(\begin{cases}3x(3x-4y)+4y^2=64,\\ 3x(3x+4y)+4y^2=16\end{cases}\)

\(\begin{cases}9x^2-12xy+4y^2=64,\\ 9x^2+12xy+4y^2=16\end{cases}\)

\[ \begin{cases}(3x - 2y)^2=64,\\ (3x + 2y)^2=16 \end{cases} \]

\[ \begin{cases}3x - 2y=\pm8,\\ 3x + 2y=\pm4 \end{cases} \]

1) \( \begin{cases}3x - 2y=8,\\ 3x + 2y=4 \end{cases} \)  \((+)\)

\(6x = 12\)

\(x = \frac{12}{6} \)

\(x = 2\)

\(3\cdot2 - 2y = 8\)

\(6 - 2y = 8\)

\(-2y = 8-6\)

\(-2y = 2\)

\(y = -1\)

2) \( \begin{cases}3x - 2y=8,\\ 3x + 2y=-4 \end{cases} \)  \((+)\)

\(6x = 4\)

\(x = \frac{4}{6}\)

\(x = \frac23\).

\(3\cdot\frac23 - 2y = 8\)

\(2 - 2y = 8\)

\(-2y = 8 - 2\)

\(-2y = 6\)

\(y = -\frac62\)

\(y = -3\)

3) \( \begin{cases}3x - 2y=-8,\\ 3x + 2y=4 \end{cases} \)  \((+)\)

\(6x = -4\)

\(x = -\frac{4}{6}\)

\(x = -\frac23\).

\(3\cdot(-\frac23) - 2y = -8\)

\(-2 - 2y = -8\)

\(-2y = -8 + 2\)

\(-2y = -6\)

\(y = \frac{6}{2}\)

\(y = 3\)

4) \( \begin{cases}3x - 2y=-8,\\ 3x + 2y=-4 \end{cases} \)  \((+)\)

\(6x = -12\)

\(x = -\frac{12}{6}\)

\(x = -2\).

\(3\cdot(-2) - 2y = -8\)

\(-6 - 2y = -8\)

\(-2y = -8 + 6\)

\(-2y = -2\)

\(y = 1\)

Ответ: \((2;-1),\;(-2;1),\)

\(\left(\dfrac{2}{3};-3\right),\;\left(-\dfrac{2}{3};3\right)\).

Пояснения:

В каждом уравнении систем сначала раскрываем скобки:

Раскрытие скобок: \(a(b\pm c)=ab\pm ac\).

Затем применяем формулы квадрата суммы или квадрата разности двух выражений:

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\),

\(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\).

Затем решаем уравнения вида

\(x^2 = a\), которое имеет корни

\(x_{1,2} = \pm\sqrt a\).

Тем самым из каждой системы получаем совокупность четырех систем. Каждую их этих систем в пункте а) решаем способом подстановки, а в пункте б) способом сложения и в каждом случае для исходной системы получаем четыре решения.