Упражнение 514 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) км/ч — скорость первого туриста \((x > 0)\), \(y\) км/ч — скорость второго туриста \((y > 0)\).

Пусть первый шёл до встречи \(t\) ч, тогда он прошел \(xt\) км, а второй после встречи прошел \(9y\) км, значит

\(xt = 9y\),

\(t = \frac{9y}{x}\).

Второй шёл до встречи \(t+6\) ч, тогда он прошел \(y(t+6)\) км, а первый после встречи прошел \(8x\), км, значит,

\(y (t + 6) = 8x\),

\(yt + 6y = 8x\),

\(y\cdot\frac{9y}{x} + 6y = 8x\),

\(\frac{9y^2}{x} + 6y = 8x\).

По условию при встрече первый прошёл на 12 км меньше второго:

\(y(t+6)-xt=12\),

при этом \(y(t + 6) = 8x\), тогда

\(8x - xt = 12\),

\(8x - x\cdot\frac{9y}{x}  = 12\),

\(8x - 9y = 12\).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} \dfrac{9y^2}{x} + 6y = 8x,\\ 8x - 9y = 12 \end{cases}\)

1) \(8x - 9y = 12\)

\(-9y = 12 - 8x\)

\(y = \frac{12 - 8x}{-9}\)

\(y= \frac{8x-12}{9}\)

2) \(\dfrac{9y^2}{x} + 6y = 8x\)   \(/\times x\)

ОДЗ: \(x\ne0\).

\(9y^2 + 6xy = 8x^2\)

\(9\cdot\left(\dfrac{8x-12}{9}\right)^2+\dfrac{6x(8x-12)}{9}=8x^2\)

\(\cancel9\cdot\dfrac{(8x-12)^2}{\cancel{81}_ {\color{blue}{9}} }+6x\cdot\dfrac{8x-12}{9}=8x^2\)

\(\dfrac{(8x-12)^2}{9}+6x\cdot\dfrac{8x-12}{9}=8x^2\) \(/\times 9\)

\((8x - 12)^2 + 6x(8x - 12) = 72x^2\)

\(64x^2 - 192x + 144 + 48x^2 - 72x - 72x^2 = 0\)

\(40x^2 - 264x + 144 = 0\)  \(/ : 8\)

\(5x^2 - 33x + 18 = 0\)

\(D = (-33)^2 - 4\cdot5\cdot18 = \)

\(=1089 - 360 = 729 > 0\) - два корня.

\(\sqrt {729} = 27\).

\(x_1 = \frac{33 + 27}{2\cdot5} = \frac{60}{10} = 6\).

\(x_2 = \frac{33 - 27}{2\cdot5} = \frac{6}{10} = 0,6\).

Если \(x = 6\), то

\(y= \frac{8\cdot6-12}{9} =\frac{48-12}{9} =\frac{36}{9} =4\).

Если \(x = 0,6\), то

\(y= \frac{8\cdot0,6-12}{9} =\frac{4,8-12}{9} =\)

\(=\frac{-7,2}{9} =-0,8 < 0\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: скорость первого туриста \(6\) км/ч, второго туриста \(4\) км/ч.

Пояснения:

Ввели переменные \(x\) и \(y\), соответствующие скоростям туристов. По условию задачи составили систему уравнений, которую решили методом подстановки. Из второго уравнения системы выразили переменную \(y\) через переменную \(x\) и подставили во второе уравнение. В результате преобразований получили квадратное уравнение относительно \(x\).

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Для каждого значения \(x\) находим соответствующее значение \(y\), но в одном случае \(y\) получается отрицательным, чего не может быть, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, условию задачи удовлетворяет только одно решение системы.

а) \(\begin{cases}x^2+xy+y^2=7,\\ x+xy+y=5;\end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2+y^2+xy=7,\\ x+y+xy=5;\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x^2+2xy + y^2) - 2xy+xy=7,\\ x+y+xy=5;\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x + y)^2 - xy=7,\\ (x+y)+xy=5\end{cases}\)

Пусть \( x+y = u,\quad xy = v \)

\(\begin{cases}u^2 - v=7,\\ u+v=5\end{cases}\)

\(\begin{cases}u^2 - (5-u)=7,\\ v=5 - u\end{cases}\)

\(u^2 - (5-u)=7\)

\(u^2 -5 + u - 7 = 0\)

\(u^2 + u - 12 = 0\)

\(D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-12) =\)

\(=1 + 48 = 49 > 0 \) - 2 корня.

\(\sqrt{49} = 7\)

\(u_1 = \frac{-1 + 7}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).

\(u_2 = \frac{-1 - 7}{2\cdot1} = \frac{-8}{2} = -4\).

Если \(u = 3\), то

\(v = 5 - 3 = 2\).

Если \(u = -4\), то

\(v = 5 - (-4) = 5 + 4 = 9\).

1) \(\begin{cases} x + y = 3,\\ xy = 2\end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 3 - x,\\ x(3 - x) = 2\end{cases}\)

\( x(3 - x) = 2\)

\(3x - x^2 - 2 = 0\)   \(/\times(-1)\)

\(x^2 - 3x + 2 = 0\)

\(D = (-3)^2 - 4\cdot1\cdot2= \)

\(= 9 - 8 = 1 > 0\) - два корня.

\(x_1 = \frac{3 + 1}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\).

\(x_2 = \frac{3 - 1}{2\cdot1} = \frac{2}{2} = 1\).

Если \(x = 2\), то

\(y = 3 - 2 = 1\).

Если \(x = 1\), то

\(y = 3 - 1 = 2\).

2) \(\begin{cases} x + y = -4,\\ xy = 9\end{cases}\)

\(\begin{cases} y = -4 - x,\\ x(-4 - x) = 9\end{cases}\)

\( x(-4 - x) = 9\)

\(-4x - x^2 - 9 = 0\)    \(/\times(-1)\)

\(x^2 + 4x + 9 = 0\)

\(D = 4^2 - 4\cdot1\cdot9 = \)

\(= 16 - 36 = -20 < 0\) - корней нет.

Ответ: \((2; 1)\),  \((1; 2)\).

б) \(\begin{cases}x^2+xy+y^2=19,\\ x+xy+y=1\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x^2+2xy+y^2) -2xy + xy=19,\\ x+y+xy=1\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x+y)^2 - xy = 19,\\ (x+y)+xy=1\end{cases}\)

Пусть \( x+y = u,\quad xy = v \)

\(\begin{cases} u^2 - v = 19,\\ u+v=1\end{cases}\)

\(\begin{cases} u^2 - (1-u) = 19,\\ v=1-u\end{cases}\)

\(u^2 - (1-u) = 19\)

\(u^2 - 1 + u - 19 = 0\)

\(u^2 + u - 20 = 0\)

\(D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-20) =\)

\(=1 + 80 = 81 > 0 \) - два корня.

\(u_1 = \frac{-1 + 9}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4\).

\(u_2 = \frac{-1 - 9}{2\cdot1} = \frac{-10}{2} = -5\).

Если \(u = 4\), то

\(v = 1 - 4 = -3\).

Если \(u = -5\), то

\(v = 1 - (-5) = 1 + 5 = 6\).

1) \(\begin{cases} x + y = 4,\\ xy = -3\end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 4 - x,\\ x(4-x) = -3\end{cases}\)

\( x(4-x) = -3\)

\(4x - x^2 + 3 = 0\)    \(/\times(-1)\)

\(x^2 - 4x - 3 = 0\)

\(D = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-3) = \)

\(= 16 +12 = 28 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{28} = \sqrt{4\cdot7} = 2\sqrt7\).

\(x_1= \frac{4 + 2\sqrt7}{2} = 2 + \sqrt7\).

\(x_2= \frac{4 - 2\sqrt7}{2} = 2 - \sqrt7\).

Если \(x = 2 + \sqrt7\), то

\(y = 4 - (2 + \sqrt7) = 4 - 2 - \sqrt7 = 2 - \sqrt7\).

Если \(x = 2 - \sqrt7\), то

\(y = 4 - (2 - \sqrt7) = 4 - 2 + \sqrt7 = 2 + \sqrt7\).

2) \(\begin{cases} x + y = -5,\\ xy = 6\end{cases}\)

\(\begin{cases}  y =-x -5,\\ x(-x-5) = 6\end{cases}\)

\(x(-x-5) = 6\)

\(-x^2 - 5x - 6 = 0\)    \(/\times(-1)\)

\(x^2 + 5x + 6 = 0\)

\(D = 5^2 - 4\cdot1\cdot6 = \)

\(= 25 - 24 = 1 > 0\) - два корня.

\(\sqrt1 = 1\).

\(x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2\).

\(x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3\).

Если \(x = -2\), то

\(y = -(-2) - 5 = 2 - 5 = -3\).

Если \(x = -3\), то

\(y = -(-3) - 5 = 3 - 5 = -2\).

Ответ: \((2 + \sqrt7; 2 - \sqrt7)\),

\((2 - \sqrt7; 2 + \sqrt7)\), \((-2; -3)\), \((-3; -2)\).

Пояснения:

Уравнения в рассматриваемых системах содержат переменных \(x + y\), произведение \(xy\) и сумму квадратов \(x^2 + y^2\). Если в этих системах заменить \(x\) на \(y\), а \(y\) на \(x\), то получим те же системы. Такие системы называют симметрическими системами. Их удобно решать, вводя новые переменные

\(x + y = u\),  \(xy = v\),

учитывая то, что

\(x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2\).

Затем способом подстановки решают системы относительно \(u\) и \(v\).

Далее получаем совокупность систем относительно \(x\) и \(y\). Каждую систему решаем способом подстановки.

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней.