Упражнение 512 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) км/ч — скорость первого поезда (\(x > 0\)), \(y\) км/ч — скорость второго поезда (\(y > 0\)). По условию задачи поезда встретились через 3 часа, значит за это время они вместе прошли 270 км:

\(3(x+y)=270\)  \(/ : 3\)

\(x + y = 90\)

Время, за которое каждый поезд проходит весь путь 270 км:

\(\dfrac{270}{x}\) ч и \(\dfrac{270}{y}\) ч.

По условию разность этих времен равна

\(1\) ч \(21\) мин = \(1\frac{21}{60}\) ч = \(1\frac{7}{20}\) ч =\(\frac{27}{20}\) ч, тогда:

\(\dfrac{270}{x}-\dfrac{270}{y}=\dfrac{27}{20}\)

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} x+y=90,\\[6pt] \dfrac{270}{x}-\dfrac{270}{y}=\dfrac{27}{20} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=90 - y,\\[6pt] \dfrac{270}{90 - y}-\dfrac{270}{y}=\dfrac{27}{20} \end{cases}\)

\(\dfrac{270}{90 - y}-\dfrac{270}{y}=\dfrac{27}{20}\) \(/ : 27\)

\(\dfrac{10}{90 - y}-\dfrac{10}{y}=\dfrac{1}{20}\) \(/\times20y(90-y)\)

ОДЗ: \(y \ne 0\)  и   \(y \ne 90\)

\(10\cdot20y - 10\cdot20(90-y) = y(90 - y)\)

\(200y - 18000 + 200y = 90y - y^2\)

\(400y - 18000 - 90y + y^2 = 0\)

\(y^2 + 310y - 18000 = 0\)

\(D=310^2-4\cdot(-18000)\cdot1=\)

\(=96100+72000=168100 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{168100}=410\).

\(y_1=\dfrac{-310+410}{2\cdot1}= \dfrac{100}{2}=50\).

\(y_2=\dfrac{-310-410}{2\cdot1} = \dfrac{-720}{2}= -360\) - не удовлетворяет условию.

Если \(y=50\), то

\(x=90-50=40\)

Ответ: скорости поездов равны \(40\) км/ч и \(50\) км/ч.

Пояснения:

В задаче вводятся две переменные \(x\) и \(y\), так как требуется найти скорости двух поездов. При движении навстречу друг другу их скорости складываются, поэтому за 3 часа они проходят расстояние \(3(x+y)\), равное 270 км.

Второе условие связано со временем прохождения всего пути каждым поездом по отдельности. Время выражается формулой \(t=\dfrac{S}{v}\). Разность времен равна \(\dfrac{27}{20}\) часа.

Из двух уравнений составляем систему и решаем ее методом подстановки. Из первого уравнения выражаем переменную \(x\) и подставляем во второе уравнение. Выполнив преобразование получаем квадратное уравнение относительно \(y\).

Квадратное уравнение

\(ay^2 + by + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Отрицательный корень исключаем, так как скорость не может быть отрицательной. Для положительного значения \(y\) находим соответствующее значение \(x\).

Таким образом, скорости поездов равны \(40\) км/ч и \(50\) км/ч.

а) \(\begin{cases}x^2+xy=6,\\ y^2+xy=3;\end{cases}\)  \((+)\)

\(x^2 + xy + y^2 + xy = 6 + 3\)

\(x^2 + 2xy + y^2 = 9\)

\((x + y)^2 = 9\)

\(x + y = \pm\sqrt9\)

\(x + y = \pm3\)

1) \(\begin{cases}x+y = 3,\\ y^2+xy=3\end{cases}\)

\(\begin{cases}x = 3 - y,\\ y^2+(3-y)y=3\end{cases}\)

\(y^2+(3-y)y=3\)

\(\cancel{y^2} + 3y - \cancel{y^2} = 3\)

\(3y = 3\)

\(y = 1\)

\(x = 3 - 1 = 2\).

2) \(\begin{cases}x+y = -3,\\ y^2+xy=3\end{cases}\)

\(\begin{cases}x = -3 - y,\\ y^2+(-3-y)y=3\end{cases}\)

\(y^2+(-3-y)y=3\)

\(\cancel{y^2} - 3y - \cancel{y^2} = 3\)

\(-3y = 3\)

\(y = -1\)

\(x = -3 - (-1) = -3 + 1 =-2\).

Ответ: \((2; 1)\), \((-2; -1)\).

б) \(\begin{cases}x^2-xy=7,\\ y^2-xy=9.\end{cases}\)  \((+)\)

\(x^2 -xy + y^2 - xy = 7 + 9\)

\(x^2 - 2xy + y^2 = 16\)

\((x - y)^2 = 16\)

\(x - y = \pm \sqrt {16}\)

\(x - y = \pm4\)

1) \(\begin{cases}x-y = 4,\\ y^2-xy=9\end{cases}\)

\(\begin{cases}x = y+4,\\ y^2-(y+4)y=9\end{cases}\)

\(y^2-(y+4)y=9\)

\(\cancel{y^2} - \cancel{y^2} - 4y = 9\)

\(-4y = 9\)

\(y = -\frac94\)

\(y = -2,25\)

\(x = -2,25 + 4 = 1,75\)

2) \(\begin{cases}x-y = -4,\\ y^2-xy=9\end{cases}\)

\(\begin{cases}x = y-4,\\ y^2-(y-4)y=9\end{cases}\)

\(y^2-(y-4)y=9\)

\(\cancel{y^2} - \cancel{y^2} + 4y = 9\)

\(4y = 9\)

\(y = \frac94\)

\(y = 2,25\)

\(x = 2,25 - 4 = -1,75\)

Ответ: \((1,75; -2,25)\), \((-1,75; 2,25)\)

Пояснения:

В каждом пункте сначала используем способ сложения при решении систем уравнений. В результате решение системы сводится к решению совокупности систем уравнений. Каждую систему решаем способом подстановки.

Используемые приемы:

- квадрат суммы и квадрат разности двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\),

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

- неполное квадратное уравнение

\(x^2 = a\) имеет корни \(x_{1,2} = \pm\sqrt a\).