Упражнение 517 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x>y\)

\(y < x\)

\(y=x\)

\(M(1;3)\) - не является решением неравенства.

\(3 < 1\) - неверно.

б) \(y>x\)

\(y=x\)

\(M(1;3)\) - является решением неравенства.

\(3 > 1\) - верно.

Пояснения:

Абсцисса точки — это её \(x\)-координата, ордината — это \(y\)-координата.

а) Условие «абсцисса больше ординаты» означает неравенство \(x>y\). Его удобно переписать в виде \(y < x\). Графиком уравнения \(y=x\) является прямая, проходящая через начало координат. Все точки, лежащие ниже этой прямой, удовлетворяют неравенству \(y < x\). Так как неравенство строгое, точки самой прямой \(y=x\) не входят в множество решений.

б) Условие «ордината больше абсциссы» записывается как \(y > x\). Это означает, что \(y\)-координата точки больше её \(x\)-координаты. Все такие точки расположены выше прямой \(y=x\). Прямая \(y=x\) также не включается, так как знак строгий.

Определение нужной полуплоскости: выбирают точку и проверяют, удовлетворяет ли она неравенству. Если да — закрашивают полуплоскость, где лежит эта точка, если нет — противоположную.

Итак, прямая \(y=x\) делит координатную плоскость на две части: ниже неё находятся точки, у которых \(x>y\), а выше — точки, у которых \(y>x\).

а) \( x^2+y^2+2x+1=0\)

\((x^2+2x+1)+y^2=0\)

\((x+1)^2+y^2 =0\)

\( (x+1)^2+y^2=0 \)

\( (x+1)^2=0\)  и  \( y^2=0 \)

\( x+ 1 = 0\)           \( y=0 \)

\((-1;0)\) - единственное решение.

б) \( x^2-2x+y^2+4y+5=0\)

\((x^2-2x+1)+(y^2+4y+4)=0 \)

\( (x-1)^2+(y+2)^2=0\)

\( (x-1)^2=0\)  и  \((y+2)^2=0 \)

\(x - 1 = 0\)            \(y + 2 = 0\)

\( x=1\)                   \( y=-2 \)

\((1;-2)\) - единственное решение.

Пояснения:

Правила и формулы:

1. Квадрат любого действительного числа неотрицателен:

\[ a^2\ge 0. \]

2. Выделение полного квадрата:

\[ x^2+2ax+a^2=(x+a)^2, \]

\[ x^2-2ax+a^2=(x-a)^2. \]

3. Если сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, то каждое из них равно нулю:

\( A\ge 0,\ B\ge 0,\ A+B=0 \), то

\(A=0,\ B=0. \)

Пояснение к пункту а):

Левая часть уравнения представляется как сумма квадратов \((x+1)^2\) и \(y^2\). Оба эти выражения неотрицательны, поэтому их сумма может быть равна нулю только тогда, когда оба квадрата равны нулю. Это даёт единственную пару \((-1;0)\).

Пояснение к пункту б):

Учитывая то, что \(5 = 1 + 4\), получили сумму квадратов выражений: \((x-1)^2\) и \((y+2)^2\). Сумма двух квадратов равна нулю только при нулевых значениях каждого квадрата, значит решение единственно: \((1;-2)\).