Упражнение 520 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x-1)(y-1)\ge0\)

\((x-1)(y-1)=0\)

\(x - 1 = 0\)  или  \(y - 1 = 0\)

\(x = 1\)                 \(y = 1\)

\(A(0; 3)\) - не является решением неравенства.

\((0-1)(3-1)>0\)

\(-1\cdot2 > 0\)

\(B(3; 2)\) - является решением неравенства.

\((3-1)(2-1)>0\)

\(2\cdot1 > 0\)

\(2 > 0\) - верно.

\(C(2; 0)\) - не является решением неравенства.

\((2-1)(0-1)>0\)

\(1\cdot(-1) > 0\)

\(-1 > 0\) - неверно.

\(D(-3; 0)\) - является решением неравенства.

\((-3-1)(0-1)>0\)

\(-4\cdot(-1) > 0\)

\(4 > 0\) - верно.

б) \(x^2-y^2>0\)

\((x-y)(x+y)>0\)

\((x-y)(x+y)=0\)

\(x - y = 0\)  или  \(x + y = 0\)

\(y = x\)                  \(y = -x\)

\(y = x\)

 \(y = -x\)

\(A(0; 3)\) - не является решением неравенства.

\(0^2-3^2>0\)

\(-9 > 0\) - неверно.

\(B(3; 0)\) - является решением неравенства.

\(3^2-0^2>0\)

\(9 > 0\) - верно.

\(C(0; -2)\) - не является решением неравенства.

\(0^2-(-2)^2>0\)

\(-4 > 0\) - неверно.

\(B(-3; 0)\) - является решением неравенства.

\((-3)^2-0^2>0\)

\(9 > 0\) - верно.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Свойство произведения: произведение равно нулю, только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

\[ab=0 \Longleftrightarrow a=0 \text{ или } b=0).\]

2) Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

3) Если неравенство строгое (\(>\) или \(<\)), то прямая не входит в решение (её рисуют пунктиром).

4) Определение нужной части плоскости: выбирают точку и проверяют, удовлетворяет ли она неравенству. Если да — закрашивают эту часть плоскости, если нет - не закрашивают эту часть плоскости.

а) \( \frac{y-x}{x-2}=0\)

\(y-x=0\)  и  \( x-2\ne 0\)

\(y=x\)             \( x\ne 2 \)

\(y=x\) - прямая.

б) \( \frac{y-x^2}{x^2-1}=0 \)

\(y-x^2=0\)

\( y=x^2\) - парабола, ветви вверх.

\(x^2-1\ne 0\)

\((x - 1) (x + 1) \ne 0\)

\(x - 1 \ne 0\)   и   \(x + 1 \ne 0\)

\(x\ne 1\)               \( x\ne -1 \)

в) \( \frac{x^2+y^2-16}{y^2-4}=0 \)

\(x^2+y^2-16=0\)

\(x^2+y^2=16\) - окружность с центром \((0; 0)\) и радиусом \(r = 4\).

\(y^2-4\ne 0\)

\((y - 2)(y + 2) \ne 0\)

\(y - 2 \ne 0\)  и  \(y + 2 \ne 0\)

\( y\ne 2\)             \( y\ne -2 \)

г) \( \frac{x^2+y^2-1}{x^2-y^2}=0 \)

\(x^2+y^2-1=0\)

\(x^2+y^2=1\) = окружность с центром \((0; 0)\) и радиусом \(r = 1\).

\(x^2-y^2\ne 0\)

\((x - y) (x+y) \ne 0\)

\(x - y \ne 0\)   и   \(x + y \ne 0\)

\(x \ne y\)               \(x \ne-y\)

Пояснения:

Правила и приёмы:

1. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

\[ \frac{A}{B}=0 \Longleftrightarrow \begin{cases}A=0,\\ B\ne 0.\end{cases} \]

2. Условия \(B\ne 0\) дают «запрещённые» значения, которые нужно исключить из графика (получаются выколотые точки).

3. Окружность с центром в начале координат задаётся уравнением

\(x^2+y^2=r^2\).

4. Линейную функцию \(y=ax+b\) строим по точкам, составляя таблицу (достаточно двух точек).