Упражнение 513 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) км/ч — скорость автомобиля, выехавшего из \(M\) (\(x > 0\)), \(y\) км/ч — скорость автомобиля, выехавшего из \(N\) (\(y > 0\)).

После встречи автомобиль из \(M\) доезжает до \(N\) за

\(1\text{ ч }15\text{ мин}=1+\dfrac{15}{60}=\dfrac{5}{4}\) и проезжает за это время \(\frac54x\) км.

После встречи автомобиль из \(N\) доезжает до \(M\) за

\(48\text{ мин}=\dfrac{48}{60}=\dfrac{4}{5}\) и проезжает за это время \(\frac45y\) км.

Расстояние между \(M\) и \(N\) равно \(90\) км, тогда:

\(\frac54x + \frac45y = 90\)

Скорость сближения автомобилей равна \((x + y)\) км/ч. До встречи автомобили проехали \(90\) км, значит, время в пути каждого автомобиля до встречи \(\frac{90}{x+y}\) ч.

До встречи первый автомобиль проехал \(\frac{90}{x+y}\cdot x\) км, а после встречи \(\frac54x\) км, тогда:

\(\frac{90}{x+y}\cdot x + \frac54x = 90\)

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} \dfrac54x + \dfrac45y = 90,\\[6pt] \dfrac{90}{x+y}\cdot x + \dfrac54x = 90 \end{cases}\)

1) \(\dfrac54x + \dfrac45y = 90\)   \(/\times20\)

\(25x + 16y = 1800\)

\(16y = 1800 - 25x\)

\(y = \frac{1800-25x}{16}\)

2) \(\dfrac{90}{x ^{\color{blue}{\backslash16}} +\frac{1800-25x}{16}}\cdot x + \dfrac54x = 90\)

\(\dfrac{90x}{\frac{16x+1800-25x}{16}} + \dfrac54x = 90\)

\(\dfrac{90x}{\frac{1800-9x}{16}} + \dfrac54x = 90\)

\(\dfrac{^{\color{blue}{10}}\cancel{90}x\cdot16}{\cancel9(200-x)} + \dfrac54x = 90\)

\(\dfrac{10x\cdot16}{200-x} + \dfrac54x = 90\)  \(/ : 5\)

\(\dfrac{2x\cdot16}{200-x} + \dfrac x4 = 18\) 

\(\dfrac{32x}{200-x} + \dfrac x4 = 18\) \(/\times4(200-x)\)

\(32x\cdot4+x(200-x) = 18\cdot4(200 - x)\)

\(128x + 200x - x^2 =14400 - 72x\)

\(328x - x^2 - 14400 + 72x = 0\)

\(-x^2 + 400x -14400 = 0\)  \(/\times (-1)\)

\(x^2 - 400x +14400 = 0\)

\(D = (-400)^2 -4 \cdot1\cdot14400 = \)

\(=160000 - 57600 = 102400 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{102400} = 320\).

\(x_1 = \frac{400 + 320}{2\cdot1}=\frac{720}{2} = 360\).

\(x_2 = \frac{400 - 320}{2\cdot1}=\frac{80}{2} = 40\).

Если \(x = 360\), то

\(y = \frac{1800-25\cdot360}{16}=\)

\(=\frac{1800-9000}{16}=\frac{-7200}{16}=-450\) - не удовлетворяет условию.

Если \(x = 40\), то

\(y = \frac{1800-25\cdot40}{16}=\)

\(=\frac{1800-1000}{16}=\frac{800}{16}=50\)

Ответ: \(x=40\) км/ч, \(y=50\) км/ч.

Пояснения:

Вводим обозначения для скоростей автомобилей. Составляем уравнения связывающие расстояния, учитывая то, что \(s = vt\). Из уравнений составляем систему, которую решаем способом подстановки. Из первого уравнения системы выражаем переменную \(y\) и подставляем во второе уравнение. Выполнив преобразования, получаем квадратное уравнение относительно \(x\).

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Для каждого значения \(x\) находим соответствующее значение \(y\), но в одном случае \(y\) получается отрицательным, чего не может быть, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, условию задачи удовлетворяет только одно решение системы.

а) \(\begin{cases}x^2+y^2=25,\\ xy=12  /\times2 \end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2+y^2=25,\\ 2xy=24 \end{cases}\)  \((+)\)

\(x^2 + 2xy + y^2 = 25 + 24\)

\((x + y)^2 = 49\)

\(x + y = \pm \sqrt{49}\)

\(x + y = \pm7\)

1) \(\begin{cases}x+y=7,\\ xy=12 \end{cases}\)

\(\begin{cases}y=7-x,\\ x(7-x)=12 \end{cases}\)

\(x(7-x)=12\)

\(7x - x^2 - 12 = 0\)   \(/\times(-1)\)

\(x^2 - 7x + 12 = 0\)

\(D = (-7)^2 - 4\cdot1\cdot12 = \)

\(=49 - 48 = 1 > 0\) - два корня.

\(\sqrt1 = 1\)

\(x_1 = \frac{7 + 1}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4\).

\(x_2 = \frac{7 - 1}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).

Если \(x = 4\), то

\(y = 7 - 4 = 3\).

Если \(x = 3\), то

\(y = 7 - 3 = 4\).

2) \(\begin{cases}x+y=-7,\\ xy=12 \end{cases}\)

\(\begin{cases}y=-7-x,\\ x(-7-x)=12 \end{cases}\)

\(x(-7-x)=12\)

\(-7x - x^2 - 12 = 0\)   \(/\times(-1)\)

\(x^2 + 7x + 12 = 0\)

\(D = 7^2 - 4\cdot1\cdot12 =\)

\(=49 - 48 = 1\).

\(\sqrt1 = 1\)

\(x_1 = \frac{-7 + 1}{2\cdot1} = \frac{-6}{2} = -3\).

\(x_2 = \frac{-7 - 1}{2\cdot1} = \frac{-8}{2} = -4\).

Если \(x = -3\), то

\(y = -7 - (-3) = -7 + 3 = -4\).

Если \(x = -4\), то

\(y = -7 - (-4) = -7 + 4 = -3\).

Ответ: \((4;3),\;(3;4),\;(-3;-4),\)

\((-4;-3)\).

б) \(\begin{cases}x^2+y^2=26,\\ x+y=6.\end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2+(6-x)^2=26,\\ y=6-x \end{cases}\)

\(x^2+(6-x)^2=26\)

\(x^2 + 36 - 12x + x^2 - 26 = 0\)

\(2x^2 - 12x + 10 = 0\)  \(/ : 2\)

\(x^2 - 6x + 5 = 0\)

\(D = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot5 =\)

\(=36 - 20 = 16 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{16} = 4\).

\(x_1 = \frac{6 + 4}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5\).

\(x_2 = \frac{6 - 4}{2\cdot1} = \frac{2}{2} = 1\).

Если \(x = 5\), то

\(y = 6 - 5 = 1\).

Если \(x = 1\), то

\(y = 6 - 1 = 5\).

Ответ: \((1;5),\;(5;1)\).

Пояснения:

В пункте а) сначала используем способ сложения при решении системы уравнений. В результате решение системы сводится к решению совокупности систем уравнений. Каждую систему решаем способом подстановки.

В пункте б) систему решаем способом подстановки.

Используемые приемы:

- квадрат суммы и квадрат разности двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\),

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

- квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня: \(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).

- неполное квадратное уравнение

\(x^2 = a\) имеет корни \(x_{1,2} = \pm\sqrt a\).