Упражнение 519 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y \ge |x|\)

\(y=|x|\)

\(y=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\ -x, & x<0 \end{cases}\)

1) \(y=x\) при \(x\ge 0\)

2) \(y=-x\) при \(x < 0\)

\(M(3; 1)\) - не является решением неравенства.

\(1 \ge |3|\)

\(1 \ge 3\) - неверно.

б) \(y \le |x-2|\)

\(y=|x-2|\)

\(y=\begin{cases} x-2, & x\ge 2,\\ 2-x, & x<2 \end{cases}\)

1) \(y=x-2\) при \(x\ge 2\)

2) \(y=2-x\) при \(x < 2\)

\(M(1; 3)\) - не является решением неравенства.

\(3 \le |1-2|\)

\(3 \le |-1|\)

\(3 \le 1\) - неверно.

Пояснения:

Сначала напомним свойства модуля:

\[|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\ -x, & x<0. \end{cases}\]

Построение границы: вместо знака \(\ge\) или \(\le\) берут равенство и строят прямую.

а) График функции \(y=|x|\) имеет вид «галочки» (буквы V), вершина которой находится в начале координат \((0,0)\). График состоит из двух прямых: \(y=x\) и \(y=-x\).

б) График \(y=|x-2|\) получается сдвигом графика \(y=|x|\) вправо на 2 единицы. Его вершина находится в точке \((2,0)\). Он также состоит из двух прямых: \(y=x-2\) и \(y=2-x\).

Построение границы: если неравенство нестрогое (\(\ge\) или \(\le\)), то линия, соответствующая графику уравнения, входит в решение (рисуем график сплошной линией).

Определение нужной части плоскости: выбирают точку и проверяют, удовлетворяет ли она неравенству. Если да — закрашивают часть плоскости, где лежит эта точка, если нет — противоположную.

а) \( x^2+y^2-2x-4y+5=0 \)

\[ (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)=0 \]

\((x-1)^2+(y-2)^2=0 \)

\( x-1=0\)  и  \( y-2=0 \)

\( x=1\)             \( y=2 \)

График — одна точка \((1;2)\).

б) \( y^2-x^4=0 \)

\( y^2-(x^2)^2=0 \)

\((y - x^2)(y + x^2)=0\)

\(y - x^2 = 0\)  или   \(y + x^2 = 0\)

\( y= x^2\)                  \(y=-x^2 \)

\( y= x^2\) - парабола, ветви вверх.

\( y= -x^2\) - парабола, ветви вниз.

Пояснения:

Правила и приёмы:

1. Выделение полного квадрата:

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2,\)

\(a^2 - 2ab + b^2 = (a + b)^2.\)

2. Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

\[ A^2+B^2=0 \Rightarrow A=0,\ B=0. \]

3. Свойство степени:

\((a^m)^n = a^{mn}\).

4. Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

Пояснение к построению:

а) Уравнение сводится к \((x-1)^2+(y-2)^2=0\), значит график состоит из единственной точки \((1;2)\).

б) График состоит из двух парабол: \(y=x^2\) (ветви вверх) и \(y=-x^2\) (ветви вниз), симметричных относительно оси \(Ox\).