Упражнение 518 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^2+y^2-4x-8y\le 0\)

\(x^2-4x+y^2-8y\le 0\)

\((x^2-4x+4)-4+(y^2-8y+16)-16\le 0\)

\((x-2)^2+(y-4)^2 -20\le 0\)

\((x-2)^2+(y-4)^2\le 20\)

\((x-2)^2+(y-4)^2= 20\) - окружность с центром \((2,4)\) и радиусом \(\sqrt{20}\approx 4,5\).

б) \(x^2-6x+y+4>0\)

\(y>-x^2+6x-4\)

\(y=-x^2+6x-4\) - парабола.

1. \(a = -1 > 0\) - ветви параболы направлены вниз.

2. \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2\cdot(-1)} = \frac62 = 3\).

\(y_0 =-3^2+6\cdot3-4 =\)

\(=-9 + 18 - 4 = 5\).

\((3; 5)\) - вершина параболы.

3. \(x = 3\) - ось симметрии параболы.

4. Нули функции:

\(-x^2+6x-4=0\)   \(/\times(-1)\)

\(x^2-6x+4=0\)

\(D = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot4 =\)

\(=36 - 16 = 20 > 0\) - два корня.

\(\sqrt {20} \approx 4,5\).

\(x _1 =\frac{6 + 4,5}{2\cdot1} = \frac{10,5}{2} = 5,25\).

\(x _2 =\frac{6 - 4,5}{2\cdot1} = \frac{1,5}{2} = 0,75\).

5. \((0; -4)\) - точка пересечения с осью \(y\).

\(M(3; 2)\) - не является решением неравенства.

\(2>-3^2+6\cdot3-4\)

\(2> -9 + 18 - 4\)

\(2 > 5\) - неверно.

Пояснения:

Правила и приёмы:

1) Квадрат разности двух выражений:

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\).

2) Окружность (круг) задаётся формулой:

\[(x-a)^2+(y-b)^2\le r^2.\]

Если знак \(\le\), то это круг (внутренность) вместе с границей.

3) Графиком уравнения

\(y = ax^2 + bx + c\) является парабола.

3) Построение границы: если неравенство нестрогое (\(\ge\) или \(\le\)), то линия, соответствующая графику уравнения, входит в решение (рисуем график сплошной линией). Если неравенство строгое (\(>\) или \(<\)), то прямая не входит в решение (её рисуют пунктиром).

4) Определение нужной части плоскости: выбирают точку и проверяют, удовлетворяет ли она неравенству. Если да — закрашивают часть плоскости, где лежит эта точка, если нет — противоположную.

а) \(y=x+5\) и \(y=x-5\)

\(y - (x + 5)) (y - (x - 5)) =\)

\(y - x - 5)(y - x + 5) = 0\)

\((y - x)^2 - 5^2 = 0\)

\((y - x)^2 - 25 = 0\)

б) \(x^2+y^2=4\), \(y=-3\) и \(y=3\)

\( (x^2+y^2-4)(y+3)(y-3)=0 \)

\( (x^2+y^2-4)(y^2-9)=0 \)

в) \(xy=6\) и \(x^2+y^2=1\)

\( (xy-6)(x^2+y^2-1)=0 \)

Пояснения:

Правила и приёмы:

1. Если график — объединение нескольких линий, то уравнение можно записать как произведение, равное нулю:

\( F(x,y)=0 \ \text{или}\ G(x,y)=0 \), то

\(F(x,y)\cdot G(x,y)=0. \)

Пояснение к заданиям:

а) Точка принадлежит графику, если лежит на первой прямой или на второй, поэтому записываем произведение двух линейных множителей.

б) График состоит из окружности и двух прямых, значит берём произведение трёх множителей, равное нулю.

в) График — объединение гиперболы и окружности, поэтому произведение их уравнений равно нулю.