Упражнение 516 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x-3)^2+(y+3)^2\le 4\)

\((x-3)^2+(y+3)^2=4\) - окружность с центром в точке \((3;-3)\) и  радиусом \(2\).

б) \(y\le x^2-5x+6\)

\(y = x^2-5x+6\) - парабола.

1. \(a = 1 > 0\) - ветви параболы направлены вверх.

2. \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2\cdot1} = \frac52 = 2,5\).

\(y_0 = 2,5^2-5\cdot2,5+6=\)

\(=6,25 - 12,5 + 6 = -0,25\).

\((2,5; -0,25)\) - вершина параболы.

3. \(x = 2,5\) - ось симметрии параболы.

4. Нули функции:

\(x^2-5x+6 = 0\)

\(D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot6 =\)

\(=25 - 24 = 1 > 0\) - два корня.

\(\sqrt1 = 1\).

\(x_1 = \frac{5 + 1}{2\cdot1} = \frac62 = 3\).

\(x_2 = \frac{5 - 1}{2\cdot1} = \frac42 = 2\).

5. \((0; 6\) - точка пересечения с осью \(y\).

\(M(3; 2)\) - не является решением неравенства.

\(2\le 3^2-5\cdot3+6\)

\(2 \le 9 - 15 + 6\)

\(2 \le 0\) - неверно.

Пояснения:

Правила и приёмы:

1) Окружность (круг) в координатной плоскости задаётся уравнением:

\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.\]

Точка \((a,b)\) — центр окружности, \(r\) — радиус. Если дано неравенство \(\le r^2\), то получаем круг (внутренность), а не только окружность.

2) Графиком уравнения

\(y = ax^2 + bx + c\)является парабола.

3) Построение границы: если неравенство нестрогое (\(\ge\) или \(\le\)), то линия, соответствующая графику уравнения, входит в решение (рисуем график сплошной линией).

4) Определение нужной части плоскости: выбирают точку и проверяют, удовлетворяет ли она неравенству. Если да — закрашивают часть плоскости, где лежит эта точка, если нет — противоположную.

а) \( x^2+4xy+4y^2+5=0\)

\((x+2y)^2+5 = 0\) - неверно, так как

\((x+2y)^2+5 > 0\) при любых \(x\) и \(y\), поэтому уравнение не имеет корней.

б) \( x^2-2xy+y^2+8=0\)

\((x-y)^2+8 = 0 \) - неверно, так как

\((x-y)^2+8 > 0 \) при любых \(x\) и \(y\), поэтому уравнение не имеет корней.

в) \( x^2-2x+y^2-4y+6=0\)

\((x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)+6-1-4 = 0\)

\( (x-1)^2+(y-2)^2+1 = 0 \) - неверно, так как

\( (x-1)^2+(y-2)^2+1 > 0 \) при любых \(x\) и \(y\), поэтому уравнение не имеет корней.

г) \( x^2y^2-2xy+3=0\)

\(((xy)^2-2xy+1) - 1 + 3 = 0\)

\( (xy-1)^2 + 2 = 0\) - неверно, так как

\( (xy-1)^2 + 2> 0 \) при любых \(x\) и \(y\), поэтому уравнение не имеет корней.

Пояснения:

Правила и приёмы, которые использовались:

1. Квадрат любого действительного числа неотрицателен:

\[ a^2\ge 0. \]

2. Выделение полного квадрата:

\( x^2+2ax+a^2=(x+a)^2, \)

\( x^2-2ax+a^2=(x-a)^2. \)

3. Если выражение имеет вид \((a \pm b)^2+c\), где \(c>0\), то оно всегда \(>0\) и не может быть равно нулю.