Упражнение 425 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть скорость первого отряда \(x\) км/ч, а скорость второго — \(y\) км/ч (\(x>0\) и \(y > 0\)).

За 4 часа первый отряд прошёл \(4x\) км, второй — \(4y\) км, тогда согласно условию

\( 4x - 4y = 4{,}8. \)

А по теореме Пифагора:

\[ (4x)^2 + (4y)^2 = 24^2. \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} 4x - 4y = 4{,}8,   / : 4 \\ (4x)^2 + (4y)^2 = 24^2 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x - y = 1,2, \\ 16x^2 + 16y^2 = 576    / : 16 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x - y = 1,2, \\ x^2 + y^2 = 36 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x = 1,2 + y, \\ (1,2 + y)^2 + y^2 = 36 \end{cases} \]

\[ (y + 1{,}2)^2 + y^2 = 36 \]

\[ y^2 + 2{,}4y + 1{,}44 + y^2 - 36 = 0 \]

\( 2y^2 + 2{,}4y - 34{,}56 = 0 \)  \(/ : 2\)

\[ y^2 + 1{,}2y - 17{,}28 = 0\]

\( D = 1,2^2 - 4\cdot1\cdot(-17,28) =\)

\(=1{,}44 + 69{,}12 = 70{,}56 > 0 \) - 2 корня.

\(\sqrt{70{,}56} = 8{,}4. \)

\( y_1 = \frac{-1{,}2 + 8{,}4}{2\cdot1} = \frac{7,2}{2} = 3{,}6\).

\( y_2 = \frac{-1{,}2 - 8{,}4}{2\cdot1} = \frac{-9,6}{2}= -4,8\) - не удовлетворяет условию.

Если \(y = 3,6\), то

\[ x = 3{,}6 + 1{,}2 = 4{,}8. \]

Ответ: первый отряд шёл со скоростью \(4{,}8\) км/ч, второй — со скоростью \(3{,}6\) км/ч.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Формула пути: \(s = vt\).

2. Если движение происходит по перпендикулярным направлениям, расстояние между объектами находится по теореме Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = c^2, \]

где \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника, \(c\) - его гипотенуза.

3. Систему уравнений с двумя переменными удобно решать методом подстановки. Подстановка приводит к квадратному уравнению.

4. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Подробное объяснение:

Сначала выразили пути отрядов через их скорости и время движения. Разность пройденных расстояний дала первое уравнение системы.

Так как отряды шли на север и восток, угол между направлениями равен \(90^\circ\), поэтому расстояние между ними через 4 часа находится по теореме Пифагора.

Решив полученную систему, нашли скорости каждого отряда. При этом, учли то, что скорость не может быть отрицательной.

\(\begin{cases} x - 2y = 4b,\\ 2x + y = 39? \end{cases}\)

\((18;\,3)\) - решение системы уравнений.

\(b\) - ?

1) \(18 - 2 \cdot 3 = 4b\)

\(18 - 6 = 4b\)

\(12 = 4b\)

\(b = \frac{12}{4}\)

\(b = 3\)

2) \(2 \cdot 18 + 3 =39\)

\(36 + 3 = 39\)

\(39 = 39\) - верно.

Ответ: \(b = 3\).

Пояснения:

Используемое правило:

Чтобы проверить, является ли заданная пара чисел решением системы, нужно подставить координаты точки в каждое уравнение системы.

Подробное объяснение:

Сначала подставили значения \(x = 18\) и \(y = 3\) в первое уравнение. Так как в этом уравнении присутствует параметр \(b\), после подстановки получили линейное уравнение относительно \(b\), из которого нашли его значение.

Затем выполнили проверку во втором уравнении системы. Оно оказалось верным при любых значениях параметра, поэтому найденное значение \(b = 3\) подходит.