Упражнение 423 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть длина участка равна \(x\) м, а ширина — \(y\) м.

Тогда площадь участка:

\(xy = 2400\).

Тогда длина изгороди:

\(2(x + y) = 200\).

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} xy = 2400,\\ 2(x + y) = 200   / : 2 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} xy = 2400,\\ x + y = 100 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x(100-x) = 2400,\\ y = 100 - x \end{cases} \]

\(x(100-x) = 2400\)

\( 100x - x^2 = 2400\)

\( x^2 - 100x + 2400 = 0\)

\(D = (-100)^2 - 4\cdot1\cdot2400 =\)

\(=10000 - 9600 = 400 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {400} = 20\).

\(x_1 = \frac{100 + 20}{2\cdot1} = \frac{120}{2} = 60\).

\(x_2 = \frac{100 - 20}{2\cdot1} = \frac{80}{2} = 40\).

1) Если  \(x = 60\), то

\(y = 100 - 60 = 40\).

2) Если \(x = 40\), то

\(y = 100 - 40 = 60\).

Ответ: 60 м и 40 м.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

\[ S = ab, \]

где \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника.

2. Длина изгороди равна периметру прямоугольника:

\[ P = 2(a + b). \]

3. Систему уравнений с двумя переменными можно решить методом подстановки. Подстановка приводит к квадратному уравнению.

4. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Подробное объяснение:

Из условия задачи известно значение площади и периметра участка, поэтому можно составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными.

После выражения одной переменной через другую и подстановки получили квадратное уравнение. Его корни соответствуют длине и ширине прямоугольника. Поскольку стороны можно менять местами, окончательный ответ — 60 м и 40 м.

\[ \begin{cases} x^{2}-4=0,\\ y^2-9=0 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x^{2}=4,\\ y^2=9 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x=2 \;\; или \;\; x = -2,\\ y=3 \;\; или \;\; y = -3 \end{cases} \]

Ответ: \((-2; \; 3)\), \((2; \; 3)\),

\((2; \; -3)\), \((-2; \; -3)\).

Пояснения:

Суть графического метода решения системы уравнений с двумя переменными:

1) построить на одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;

2) найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;

3) полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

В каждом уравнении системы выражаем квадрат переменной, получаем уравнения вида \(x^2 = a\) и \(y^2 = b\), каждое из этих уравнений имеет два решения \(x = \pm2\) и \(y = \pm3\).

Графиком функции \(x = a\) является прямая, параллельная оси \(y\) и проходящая через точку \(a; 0\).

Графиком функции \(y = b\) является прямая, параллельная оси \(x\) и проходящая через точку \(0; b\).

Графики уравнений системы пересеклись в четырех точках, значит, рассматриваемая система имеет 4 решения.