Упражнение 421 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) - первое число, а \(y\) - второе.

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} x - y = 7,\\ xy = -12 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x = y + 7,\\ (y + 7)y = -12 \end{cases} \]

\[ (y + 7)y = -12 \]

\[ y^2 + 7y = -12 \]

\[ y^2 + 7y + 12 = 0 \]

\(D = 7^2 - 4\cdot1\cdot12 =\)

\(=49 - 48 = 1 > 0 \) - 2 корня.

\(\sqrt 1 = 1\).

\(x_1 = \frac{-7 + 1}{2\cdot1} = \frac{-6}{2} = -3\).

\(x_1 = \frac{-7 - 1}{2\cdot1} = \frac{-8}{2} = -4\).

1) Если \(y = -3\), то

\[ x = -3 + 7 = 4. \]

2) Если \(y = -4\), то

\[ x = -4 + 7 = 3. \]

Ответ: \(4\) и \(-3\) или \(3\) и \(-4\).

Пояснения:

Используемые правила и приёмы:

1. Текстовая задача переводится в систему уравнений с двумя переменными.

2. Связь «одно число на 7 больше другого» записывается как разность чисел.

3. Систему удобно решать методом подстановки. Подстановка приводит к квадратному уравнению.

4. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Подробное объяснение:

Мы ввели две переменные, так как неизвестны оба числа. Первое уравнение отражает разность чисел, второе — их произведение.

После подстановки система свелась к квадратному уравнению, которое имеет два решения. Каждому решению соответствует своя пара чисел, и обе пары удовлетворяют условиям задачи.

а) \( \begin{cases} y=x^{3},\\ xy=-12 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=x^{3},\\ y=-\frac{12}{x} \end{cases} \)

\(y=x^{3}\) - кубическая парабола, I и III четверти.

\(y=-\frac{12}{x}\) - гипербола, II и IV четвертях.

Ответ: система не имеет решений.

б) \( \begin{cases} y=x^{2}+8,\\ y=-x^2+12; \end{cases} \)

\(y=x^{2}+8\) - парабола, ветви направлены вверх, вершина \((0; 8)\).

\(y=-x^{2}+12\) - парабола, ветви направлены вниз, вершина \((0; 12)\).

Ответ: система имеет два решения.

в) \( \begin{cases} y=x^{2}+1,\\ xy=3. \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=x^{2}+1,\\ y=\frac3x. \end{cases} \)

\(y=x^{2}+1\) - парабола, ветви направлены вверх, вершина \((0; 1)\).

\(y=\frac3x\) - гипербола, I и III четверти.

Ответ: система имеет одно решение.

г) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 9,\\ (x - 10)^2 + y^2 = 16 \end{cases}\)

\(x^2 + y^2 = 9\) - окружность с центром \((0; 0)\) и \(r = 3\).

\((x - 10)^2 + y^2 = 16\) - окружность с центром \((10; 0)\) и \(r = 4\).

Ответ: система не имеет решений.

Пояснения:

Суть графического метода решения системы уравнений с двумя переменными:

1) построить на одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;

2) найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;

3) полученные пары чисел и будут искомыми решениями.