Упражнение 420 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Обозначим первое число через \(x\), второе — через \(y\).

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} x + y = 12,\\ xy = 35 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} y = 12 - x,\\  x(12 - x) = 35 \end{cases} \]

\[ x(12 - x) = 35 \]

\[ 12x - x^2 = 35 \]

\( -x^2 + 12x - 35 = 0\)  \(/\times(-1)\)

\( x^2 - 12x + 35 = 0\)

\(D = (-12)^2 - 4\cdot1\cdot35 = \)

\(=144 - 140 = 4 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt D = 2\).

\(x_1 = \frac{12 + 2}{2\cdot1} = \frac{14}{2} = 7\).

\(x_2 = \frac{12 - 2}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5\).

1) Если \(x = 5\), то

\( y = 12 - 5 = 7\)

2) Если \(x = 7\), то

\[ y = 12 - 7 = 5. \]

Ответ: \(5\) и \(7\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. Текстовую задачу можно перевести в систему уравнений с двумя переменными.

2. Первое уравнение позволяет выразить одну переменную через другую.

3. Подстановка приводит к квадратному уравнению.

4. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Подробное объяснение:

Мы ввели две переменные \(x\) и \(y\), так как речь идёт о двух неизвестных числах. Условие о сумме дало первое уравнение системы, а условие о произведении — второе.

Решив систему методом подстановки, нашли все возможные пары чисел. Полученные пары отличаются только порядком записи, поэтому искомые числа — \(5\) и \(7\).

а) \(\begin{cases} x^2+y^2=16,\\ x+y+2=0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2+y^2=16,\\ y=-x - 2 \end{cases}\)

1) \(x^2+y^2=16\) - окружность с центром в точке \((0; 0)\) и \(r = 4\).

2) \(y=-x - 2\) - прямая.

Ответ: \((-3,6;1,6)\), \((1,6; -3,6)\).

б) \(\begin{cases} xy=8,\\ x+y+3=0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=\frac8x,\\ y=-x-3 \end{cases}\)

\(y=\frac8x\) - гипербола, ветви в I и III четвертях.

\(y = -x - 3\) - прямая.

Ответ: решений нет.

Пояснения:

Решения системы - это точки пересечения графиков уравнений, входящих в систему.