Упражнение 422 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть стороны прямоугольника равны \(x\) см и \(y\) см (\(x>0\) и \(y > 0\)).

Тогда периметр прямоугольника:

\(2(x + y) = 28\),

а по теореме Пифагора:

\(x^2 + y^2 = 10^2\).

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} 2(x + y) = 28,  / : 2 \\ x^2 + y^2 = 100. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x + y = 14, \\ x^2 + y^2 = 100. \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 14 - x, \\ x^2 + (14 - x)^2 = 100. \end{cases} \)

\[ x^2 + (14 - x)^2 = 100 \]

\[ x^2 + 196 - 28x + x^2 - 100 = 0 \]

\( 2x^2 - 28x + 96 = 0\)   \(/ :2\)

\[ x^2 - 14x + 48 = 0 \]

\(D = (-14)^2 - 4\cdot1\cdot48 =\)

\(=196 - 192 = 4 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt 4 = 2\).

\(x_1 = \frac{14 + 2}{2\cdot1} = \frac{16}{2} = 8\).

\(x_2 = \frac{14 - 2}{2\cdot1} = \frac{12}{2} = 6\).

1) Если  \(x = 6\), то

\(y = 14 - 6 = 8\).

2) Если \(x = 8\), то

\(y = 14 - 8 = 6\).

Ответ: стороны прямоугольника равны \(6\) см и \(8\) см.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

\[ P = 2(a + b), \]

где \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника.

2. Диагональ прямоугольника находится по теореме Пифагора:

\[ d^2 = a^2 + b^2. \]

3. Систему уравнений с двумя переменными удобно решать методом подстановки. Подстановка приводит к квадратному уравнению.

4. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Подробное объяснение:

Так как известны периметр и диагональ, мы составили систему из двух уравнений: одно описывает сумму сторон (периметр прямоугольника), другое — связь сторон через диагональ.

После подстановки получили квадратное уравнение, которое имеет два корня. Они соответствуют тем же самым сторонам, только записанным в разном порядке.

а) \( \begin{cases} (x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 9,\\ y = x \end{cases} \)

1) \((x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 9\) - окружность с центром \((4; 5)\) и \(r = 3\).

2) \(y = x\) - прямая.

Ответ: \((2,4; 2,4)\), \((6,6; 6,6)\).

б) \( \begin{cases} y - x^2 = 0,\\ x + y = 6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = x^2,\\ y = -x + 6 \end{cases} \)

1) \(y = x^2\) - парабола, ветви вверх.

2) \(y = -x + 6\) - прямая.

Ответ: \((-3, 9)\), \((2, 4)\).

Пояснения:

Решения системы уравнений — это точки пересечения графиков соответствующих уравнений.

Уравнение окружности вида

\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)

задаёт окружность с центром \((a, b)\) и радиусом \(r\).

Уравнение \(y = x\) задаёт прямую, проходящую через начало координат.

Уравнение \(y = x^2\) задаёт параболу, ветви которой направлены вверх.