Упражнение 238 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{1}{x-7} ^{\color{blue}{\backslash x-1}} -\dfrac{1}{x-1} ^{\color{blue}{\backslash x-7}} =\dfrac{1}{x-10}^{\color{blue}{\backslash x-9}}- \dfrac{1}{x-9} ^{\color{blue}{\backslash x - 10}} \)

ОДЗ:

\(x - 7 \ne 0, \Rightarrow x\neq 7;\)

\(x - 1 \ne0, \Rightarrow x\neq 1;\)

\(x - 10 \ne 0, \Rightarrow  x\neq 10;\)

\(x - 9 \ne 0, \Rightarrow x\neq 9. \)

\(\dfrac{(x-1)-(x-7)}{(x-7)(x-1)} =\dfrac{(x-9)-(x-10)}{(x-10)(x-9)} \)

\(\dfrac{\cancel x-1-\cancel x+7}{(x-7)(x-1)} =\dfrac{\cancel x-9-\cancel x+10}{(x-10)(x-9)} \)

\(\dfrac{6}{(x-7)(x-1)} =\dfrac{1}{(x-10)(x-9)} \)

\(6(x-10)(x-9) = (x - 7)(x-1)\)

\(6(x^2 -9x - 10x + 90) = x^2 -x-7x+7\)

\(6(x^2 -19x + 90) = x^2 -8x+7\)

\(6x^2 - 114x + 540 - x^2 + 8x - 7 =0\)

\(5x^2-106x+533 = 0\)

\(a = 5\),  \(b = -106\),  \(c = 533\)

\( D = b^2 - 4ac=\)

\(=106^{2}-4\cdot5\cdot533=\)

\(=11236 - 10660=576 >0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 24\).

\(x_{1} = \frac{106 + 24}{2\cdot5} =\frac{130}{10} = 13.\)

\(x_{2} = \frac{106 - 24}{2\cdot5} =\frac{82}{10} = 8,2.\)

Ответ: \(x=13,\; x=8,2.\)

б) \(\dfrac{1}{x+3}^{\color{blue}{\backslash x+9}} -\dfrac{1}{x+9}^{\color{blue}{\backslash x+3}} =\dfrac{1}{x+5}^{\color{blue}{\backslash x+21}} -\dfrac{1}{x+21}^{\color{blue}{\backslash x+5}} \)

ОДЗ:

\(x + 3 \ne 0, \Rightarrow x\neq -3;\)

\(x + 9 \ne0, \Rightarrow x\neq -9;\)

\(x + 5 \ne 0, \Rightarrow  x\neq -5;\)

\(x + 21 \ne 0, \Rightarrow x\neq -21. \)

\(\dfrac{(x +9) - (x + 3)}{(x+3)(x+9)}=\dfrac{(x+21)-(x+5)}{(x+5)(x+21)}\)

\(\dfrac{\cancel x +9 - \cancel x - 3}{(x+3)(x+9)}=\dfrac{\cancel x+21-\cancel x-5}{(x+5)(x+21)}\)

\(\dfrac{6}{(x+3)(x+9)}=\dfrac{16}{(x+5)(x+21)}\)

\(6(x+5)(x+21) = 16(x+3)(x+9)\)   \(/ :2\)

\(3(x+5)(x+21) = 8(x+3)(x+9)\)

\(3(x^2 + 21x + 5x +105) = 8(x^2 + 9x + 3x + 27)\)

\(3(x^2 + 26x +105) = 8(x^2 + 12x + 27)\)

\(3x^2 + 78x +315 = 8x^2 + 96x + 216\)

\(-5x^2 - 18x + 99=0\)  \(/\times (-1)\)

\(5x^2 + 18x - 99=0\)

\(a = 5\),  \(b = 18\),  \(c = -99\)

\( D = b^2-4ac=\)

\(=18^{2}-4\cdot5\cdot(-99)=\)

\(=324+1980=2304>0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 48\).

\(x_{1} = \frac{-18 + 48}{2\cdot5} =\frac{30}{10} = 3.\)

\(x_{2} = \frac{-18 - 48}{2\cdot5} =\frac{-66}{10} = -6,6.\)

Ответ: \(x=3,\; x=-6,6.\)

Пояснения:

При решении уравнений с дробями сначала указываем область допустимых значений (значения, при которых знаменатели не равны нулю).

Уравнения имеют вид разности двух дробей, равной разности двух других дробей. Удобно сначала привести каждую сторону к общему знаменателю. В результате каждая сторона превращается в одну дробь, у которой числитель не содержит переменных, то есть получается пропорция. Далее используем основное свойство пропорции, согласно которому произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. Выполнив преобразования получаем квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. Найденные корни проверяются на принадлежность ОДЗ, если корни совпадают с ОДЗ, их в ответ не записываем.

а) \( y = x^{2} - 6x + c\) выше \( y = 4\)

\( y = x^{2} - 6x + c\) - парабола, ветви направлены вверх, так как \(a = 1 > 0\), имеет наименьшее значение в вершине.

\(x_{0} = -\frac{b}{2a} = \frac{6}{2} = 3, \)

\(y_{0} = 3^{2} - 6\cdot 3 + c =\)

\(=9 - 18 + c = c - 9. \)

\((3; c - 9)\) - вершина параболы.

\(c - 9 > 4\)

\(c > 4 + 9\)

\( c > 13. \)

Ответ: график функции

\( y = x^{2} - 6x + c\) расположен выше

прямой \( y = 4\) при \( c > 13. \)

б) \( y = x^{2} - 6x + c\) выше \( y = -1\)

\( y = x^{2} - 6x + c\) - парабола, ветви направлены вверх, так как \(a = 1 > 0\), имеет наименьшее значение в вершине.

\(x_{0} = -\frac{b}{2a} = \frac{6}{2} = 3, \)

\(y_{0} = 3^{2} - 6\cdot 3 + c =\)

\(=9 - 18 + c = c - 9. \)

\((3; c - 9)\) - вершина параболы.

\(c - 9 > -1\)

\(c > -1 + 9\)

\( c > 8. \)

Ответ: график функции

\( y = x^{2} - 6x + c\) расположен выше

прямой \( y = -1\) при \( c > 8. \)

Пояснения:

Графиком функции \(y = x^{2} - 6x + c\) является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент \(a = 1 > 0\), поэтому её наименьшее значение — это значение в вершине. Если вершина лежит выше прямой, то весь график также будет выше этой прямой.

Формула вершины параболы.

\((x_0; y_0)\) - вершина параболы.

Для \(y = ax^{2} + bx + c\):

\( x_{0} = -\frac{b}{2a}, \)

\(y_{0} = ax_0^{2} + bx_0 + c.\)

Графиком функции \(y = k\), где \(k\) - произвольное число, является прямая параллельная оси \(x\), проходящая через точку \((0; k)\).

Чтобы парабола располагалась выше прямой \(y = k\), должно выполняться условие \(y_0 > k\).