Упражнение 237 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{a+1}{a-2}+\dfrac{a-4}{a+1}=\dfrac{3a+3}{a^{2}-a-2}\)

\(a^{2}-a-2 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -1\),  \\(c = -2\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2 - 4\cdot1\cdot (-2) =\)

\(=1 + 8 = 9 > 0\) - 2 корня.

\(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 3\).

\(a_{1} = \frac{1 + 3}{2\cdot1} =\frac{4}{2} = 2.\)

\(a_{2} = \frac{1 - 3}{2\cdot1} =\frac{-2}{2} = 1.\)

\(a^{2}-a-2 = (a-2)(a+1)\)

\(\dfrac{a+1}{a-2}+\dfrac{a-4}{a+1}=\dfrac{3a+3}{(a-2)(a+1)}\) \(/\times(a-2)(a+1)\)

ОДЗ:  \(a - 2 \ne 0\)  и  \(a + 1 = 0\)

          \(a \ne 2\)              \(a \ne -1\)

\((a + 1)(a+1) + (a - 4)(a - 2) = 3a + 3\)

\((a + 1)^2 + a^2 - 2a - 4a + 8 = 3a + 3\)

\(a^2 + 2a + 1 + a^2 - 6a + 8 - 3a - 3 = 0\)

\(2a^2 - 7a + 6 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = -7\),  \(c = 6\)

\(D =(-7)^2 - 4\cdot2\cdot 6 =\)

\(= 49 - 48 = 1 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt D = 1\).

\(x_{1} = \frac{7 + 1}{2\cdot2} =\frac{8}{4} = 2\) - не является корнем.

\(x_{2} = \frac{7 - 1}{2\cdot2} =\frac{6}{4} = \frac32= 1,5.\)

Ответ: \(a=1,5\).

б) \(\dfrac{3a-5}{a^{2}-1} - \dfrac{6a-5}{a-a^{2}}=\dfrac{3a+2}{a^{2}+a}\)

\(\dfrac{3a-5}{(a-1)(a + 1)} + \dfrac{6a-5}{a(a - 1)}=\dfrac{3a+2}{a(a + 1)}\) \(/\times (a(a+1)(a-1)\)

ОДЗ: \(a\ne0\) и \(a + 1 \ne 0\) и \(a - 1 \ne 0\)

                       \(a \ne-1\)         \(a \ne1\)

 \(a(3a - 5) + (6a - 5) (a + 1) = (3a + 2)(a - 1)\)

\(3a^2 - 5a + 6a^2 + 6a -5a -5 = 3a^2 - 3a + 2a - 2\)

\(9a^2 - 4a - 5 = 3a^2 - a - 2\)

\(9a^2 - 4a - 5 - 3a^2 + a + 2 = 0\)

\(6a^2 - 3a - 3 = 0\)  \(/ : 3\)

\(2a^2 - a - 1 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = -1\),  \(c = -1\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-1)^2 - 4\cdot2\cdot(-1) =\)

\(=1 + 8 = 9 > 0\) - 2 корня.

\(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 3\).

\(a_{1} = \frac{1 + 3}{2\cdot2} =\frac{4}{4} = 1\) - не является корнем.

\(a_{2} = \frac{1 - 3}{2\cdot2} =-\frac{2}{4} = -0,5.\)

Ответ: \(a=-0,5\).

Пояснения:

Когда сказано, что сумма или разность дробей равна другой дроби, мы составляем рациональное уравнение.

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю:

- в пункте а) трехчлен, стоящий в знаменателе разложили на множители по формуле:

\(x^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2)\),

где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трехчлена;

- в пункте б) использовали прием вынесения общего множителя за скобки, а так же формулу разности квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

Полученные уравнения сводятся к квадратным, которые решаются через дискриминант. Затем все найденные корни проверяются на соответствие ОДЗ; запрещённые значения отбросили.

а) \(y = x|x|\)

Если \(x \ge 0\), то 

\(y = x\cdot x = x^{2}. \)

Если \(x < 0\), то

\(y = x\cdot(-x) = -x^{2}. \)

\( y = \begin{cases} x^{2}, \, если \, x \ge 0,\\[4pt] -x^{2}, \, если \,  x < 0 \end{cases} \)

1) \(y = x^2\), при \( x \ge 0\)

2) \(y = -x^2\), при \( x < 0\)

б) \(y = -\dfrac{x^{3}}{|x|}\),     \(x \ne 0\)

Если \(x > 0\), то

\( y = -\dfrac{x^{3}}{x} = -x^{2}. \)

Если \(x < 0\), то

\(y = -\dfrac{x^{3}}{-x} = x^{2}. \)

\( y = \begin{cases} x^{2}, \, если \, x < 0,\\[4pt] -x^{2}, \, если \, x > 0. \end{cases} \)

1) \(y = x^2\), при \( x < 0\)

\((0; 0)\) - выколотая точка.

2) \(y = -x^2\), при \( x > 0\)

Пояснения:

Определение модуля.

Для любого действительного \(x\): \[ |x|= \begin{cases} x, & x\ge 0,\\[4pt] -x, & x<0. \end{cases} \] Это используется, чтобы заменить модуль на обычное выражение и получить формулу без модуля.

Кусочная запись функций.

а) Для \(y = x|x|\) после подстановки модулей получаем две формулы:

\( y=x^{2}\quad (x\ge0),\)

\(y=-x^{2}\quad (x<0). \)

Поэтому график состоит из двух половинок парабол с общей точкой \((0,0)\).

б) Для \(y = -\dfrac{x^{3}}{|x|}\) важно учесть, что при \(x=0\) знаменатель равен нулю, поэтому эта точка исключается. На остальных \(x\) снова получаем две формулы:

\( y=x^{2}\quad (x<0),\)

\(y=-x^{2}\quad (x>0). \)

Здесь график тоже состоит из двух ветвей парабол, но они не соединяются в точке \((0,0)\), так как она не принадлежит графику (выколотая точка).