Вернуться к содержанию учебника
При каких значениях \(a\):
а) сумма дробей \(\dfrac{a+1}{a-2}\) и \(\dfrac{a-4}{a+1}\) равна дроби \(\dfrac{3a+3}{a^{2}-a-2}\);
б) разность дробей \(\dfrac{3a-5}{a^{2}-1}\) и \(\dfrac{6a-5}{a-a^{2}}\) равна дроби \(\dfrac{3a+2}{a^{2}+a}\)?
Вспомните:
а) \(\dfrac{a+1}{a-2}+\dfrac{a-4}{a+1}=\dfrac{3a+3}{a^{2}-a-2}\)
\(a^{2}-a-2 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -1\), \\(c = -2\)
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(=(-1)^2 - 4\cdot1\cdot (-2) =\)
\(=1 + 8 = 9 > 0\) - 2 корня.
\(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt D = 3\).
\(a_{1} = \frac{1 + 3}{2\cdot1} =\frac{4}{2} = 2.\)
\(a_{2} = \frac{1 - 3}{2\cdot1} =\frac{-2}{2} = 1.\)
\(a^{2}-a-2 = (a-2)(a+1)\)
\(\dfrac{a+1}{a-2}+\dfrac{a-4}{a+1}=\dfrac{3a+3}{(a-2)(a+1)}\) \(/\times(a-2)(a+1)\)
ОДЗ: \(a - 2 \ne 0\) и \(a + 1 = 0\)
\(a \ne 2\) \(a \ne -1\)
\((a + 1)(a+1) + (a - 4)(a - 2) = 3a + 3\)
\((a + 1)^2 + a^2 - 2a - 4a + 8 = 3a + 3\)
\(a^2 + 2a + 1 + a^2 - 6a + 8 - 3a - 3 = 0\)
\(2a^2 - 7a + 6 = 0\)
\(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 6\)
\(D =(-7)^2 - 4\cdot2\cdot 6 =\)
\(= 49 - 48 = 1 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt D = 1\).
\(x_{1} = \frac{7 + 1}{2\cdot2} =\frac{8}{4} = 2\) - не является корнем.
\(x_{2} = \frac{7 - 1}{2\cdot2} =\frac{6}{4} = \frac32= 1,5.\)
Ответ: \(a=1,5\).
б) \(\dfrac{3a-5}{a^{2}-1} - \dfrac{6a-5}{a-a^{2}}=\dfrac{3a+2}{a^{2}+a}\)
\(\dfrac{3a-5}{(a-1)(a + 1)} + \dfrac{6a-5}{a(a - 1)}=\dfrac{3a+2}{a(a + 1)}\) \(/\times (a(a+1)(a-1)\)
ОДЗ: \(a\ne0\) и \(a + 1 \ne 0\) и \(a - 1 \ne 0\)
\(a \ne-1\) \(a \ne1\)
\(a(3a - 5) + (6a - 5) (a + 1) = (3a + 2)(a - 1)\)
\(3a^2 - 5a + 6a^2 + 6a -5a -5 = 3a^2 - 3a + 2a - 2\)
\(9a^2 - 4a - 5 = 3a^2 - a - 2\)
\(9a^2 - 4a - 5 - 3a^2 + a + 2 = 0\)
\(6a^2 - 3a - 3 = 0\) \(/ : 3\)
\(2a^2 - a - 1 = 0\)
\(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -1\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\(=(-1)^2 - 4\cdot2\cdot(-1) =\)
\(=1 + 8 = 9 > 0\) - 2 корня.
\(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt D = 3\).
\(a_{1} = \frac{1 + 3}{2\cdot2} =\frac{4}{4} = 1\) - не является корнем.
\(a_{2} = \frac{1 - 3}{2\cdot2} =-\frac{2}{4} = -0,5.\)
Ответ: \(a=-0,5\).
Пояснения:
Когда сказано, что сумма или разность дробей равна другой дроби, мы составляем рациональное уравнение.
Алгоритм решения уравнений:
1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;
2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);
3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4) решить получившееся целое уравнение;
5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю:
- в пункте а) трехчлен, стоящий в знаменателе разложили на множители по формуле:
\(x^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2)\),
где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трехчлена;
- в пункте б) использовали прием вынесения общего множителя за скобки, а так же формулу разности квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
Полученные уравнения сводятся к квадратным, которые решаются через дискриминант. Затем все найденные корни проверяются на соответствие ОДЗ; запрещённые значения отбросили.
Вернуться к содержанию учебника