Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№233 учебника 2023-2026 (стр. 82):
При каких значениях \(a\) равно нулю значение дроби:
а) \(\dfrac{a^{3} - 9a}{a^{2} + a - 12}\);
б) \(\dfrac{a^{5} + 2a^{4}}{a^{3} + a + 10}\);
в) \(\dfrac{a^{5} - 4a^{4} + 4a^{3}}{a^{4} - 16}\).
№233 учебника 2014-2022 (стр. 71):
Параболу \(y = 7x^{2}\) сдвинули вверх на 5 единиц и влево на 8 единиц. Графиком какой функции является полученная парабола?
№233 учебника 2023-2026 (стр. 82):
Вспомните:
№233 учебника 2014-2022 (стр. 71):
Вспомните квадратичную функцию, ее график (сдвиг вдоль координатных осей).
№233 учебника 2023-2026 (стр. 82):
а) \(\dfrac{a^{3} - 9a}{a^{2} + a - 12}\)
\(a^{3} - 9a = 0\)
\(a(a^{2} - 9) =0\)
\(a(a - 3)(a + 3) = 0\)
\(a = 0\) или \(a -3 = 0\) или \(a + 3 = 0\)
\(a = 3\) \(a = -3\)
Если \(a = 0\), то
\(a^{2} + a - 12 = 0^2 + 0 -12 =\)
\(=-12 \ne 0\).
Если \(a = 3\), то
\(a^{2} + a - 12 = 3^2 + 3 -12 = 0\).
Если \(a = -3\), то
\(a^{2} + a - 12 = (-3)^2 - 3 -12 =\)
\(= -6 \ne 0\).
Ответ: \( a = 0,\; -3. \)
б) \(\dfrac{a^{5} + 2a^{4}}{a^{3} + a + 10} = 0\)
\(a^{5} + 2a^{4} =0\)
\(a^{4}(a + 2) = 0\)
\(a^4 = 0\) или \(a + 2 = 0\)
\(a = 0\) \(a = -2\)
Если \(a = 0\), то
\(a^{3} + a + 10 = 0^3 + 0 + 10 = 10 \ne 0.\)
Если \(a = -2\), то
\(a^{3} + a + 10 = (-2)^3 -2 + 10 = 0.\)
Ответ: \( a = 0. \)
в) \(\dfrac{a^{5} - 4a^{4} + 4a^{3}}{a^{4} - 16} = 0\)
\( a^{5} - 4a^{4} + 4a^{3} =0\)
\(a^{3}(a^{2} - 4a + 4) =0\)
\(a^{3}(a - 2)^{2}=0\)
\(a^3 = 0\) или \((a - 2)^2 = 0\)
\(a = 0\) \(a - 2 = 0\)
\(a = 2\)
Если \(a = 0\), то
\(0^{4} - 16 = -16 \ne 0\)
Если \(a = 2\), то
\(2^{4} - 16 = 16 -16 = 0 \ne 0\)
Ответ: \( a = 0. \)
Пояснения:
1. Значение дроби равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому решение состоит из двух этапов: — найти все нули числителя; — исключить те значения, при которых знаменатель обращается в ноль.
2. Во всех трёх пунктах при решении уравнений использовалось разложение многочленов на множители:
\[ a^{3} - 9a = a(a - 3)(a + 3), \]
\[ a^{5} + 2a^{4} = a^{4}(a + 2), \]
\[ a^{5} - 4a^{4} + 4a^{3} = a^{3}(a - 2)^{2}. \]
Затем при решении учитывали то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
№233 учебника 2014-2022 (стр. 71):
Сдвиг влево на 8 единиц:
\[ y = 7(x+8)^{2}. \]
Сдвиг вверх на 5 единиц:
\[ y = 7(x+8)^{2} + 5. \]
Ответ: \(y = 7(x+8)^{2} + 5\).
Пояснения:
График функции \(y = a(x - m)^2 + n\) является параболой, которую можно получить из графика функции \(y = ax^2\) с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси \(x\) на \(m\) единиц вправо, если \(m > 0\), или на \(m\) единиц влево, если \(m < 0\), и сдвига вдоль оси \(y\) на \(n\) единиц вверх, если \(n > 0\), или на \(n\) единиц вниз, если \(n < 0\).
Вернуться к содержанию учебника