Решение неравенств с одной переменной

Определение. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство - значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.

Свойства неравенств, используемые при решении:

1) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.

2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

если обе части неравенства умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Пример 1. Решим неравенство

\(5(x - 1) + 7 \leq 1 - 3(x + 2)\).

Раскроем скобки в левой и правой частях неравенства и упростим:

\(5x - 5 + 7 \leq 1 - 3x - 6 \),

\(5x + 2 \leq -3x - 5 \).

Перенесем с противоположными знаками слагаемое \(-3x\) из правой части неравенства в левую, а слагаемое \(2\) из левой части в правую:

\(5x + 3x \leq - 5 - 2 \).

Приведем подобные:

\(8x \leq -7 \).

Разделим обе части уравнения на \(8\), не меняя знак неравенства:

\(x \leq -\frac{7}{8}\).

Множество решений этого неравенства представляет собой замкнутый числовой луч \(\left(-\infty; -\frac78\right]\):

Ответ: \(x\in\left(-\infty; -\frac78\right]\).

Пример 2. Решим неравенство \(\dfrac{x}{4} - \dfrac{x}{2} > -3\).

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, т.е. на число 4. Получим:

\(\dfrac{x}{4}\cdot4 - \dfrac{x}{2}\cdot4 > -3\cdot4\),

\(x-2x >-12\), отсюда

\( -x > -12 \).

Разделим обе части неравенства на \(-1\), при этом изменим знак неравенства на противоположный:

\(x < 12\).

Ответ: \(x\in(-\infty; 12)\).

В каждом из рассмотренных примеров мы заменяли заданное неравенство равносильным ему неравенством вида \(ax > b\) или \(ax < b\), где \(a\) и \(b\) - некоторые числа. Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной.

В рассмотренных примерах получались линейные неравенства, в которых коэффициент при переменной не равен нулю. Но возможны случаи, когда получатся неравенства \(0\cdot x > b\)  или \(0 \cdot x < b\). Неравенство такого вида, а значит, и соответствующее исходное неравенство либо не имеют решений, либо их решением является любое число.

Пример 3. Решим неравенство

\(31(2x+1) - 12x > 50x\).

Раскрываем скобки:

\(62x + 31 - 12x > 50x\).

Приводим подобные:

\(50x + 31 > 50x\).

Переносим слагаемые:

\(50x - 50x > -31\).

Приводим подобные:

\(0x > -31\) — неравенство верно при любом \(x\), так как оно всегда обращается в числовое неравенство \(0 > -31\), являющееся верным. Значит, решением равносильного ему заданного неравенства является любое число.

Ответ: \(x\) - любое число.