Упражнение 236 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{3x-2}{x-1}-\dfrac{2x+3}{x+3}=\dfrac{12x+4}{x^{2}+2x-3}\)

\(x^{2}+2x-3 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 2\),  \(c = -3\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=2^2 - 4\cdot1\cdot(-3) = \)

\(=4 + 12 = 16 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 4\).

\(x_{1} = \frac{-2 + 4}{2\cdot1} =\frac{2}{2} = 1.\)

\(x_{2} = \frac{-2 - 4}{2\cdot1} =\frac{-6}{2} = -3.\)

\(x^{2}+2x-3 = (x-1)(x+3)\)

\(\dfrac{3x-2}{x-1}-\dfrac{2x+3}{x+3}=\dfrac{12x+4}{(x-1)(x+3)}\) \(/\times(x-1)(x+3)\)

ОДЗ: \(x-1 \ne 0\)  и  \(x+3 \ne 0\) 

         \(x\neq1\)              \(x\neq-3\)

\((3x-2)(x+3)-(2x+3)(x-1)=12x+4\)

\(3x^2 + 9x - 2x - 6 - (2x^2 - 2x + 3x - 3) = 12x + 4\)

\(3x^2 + 7x - 6 - 2x^2 + 2x - 3x + 3 - 12x - 4 = 0\)

\(x^2 - 6x - 7 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c = -7\)

\(D = (-6)^2 - 4 \cdot1\cdot(-7) =\)

\(=36 + 28 = 64 > 0\)  - 2 корня.

\(\sqrt D = 8\)

\(x_{1} = \frac{6 + 8}{2\cdot1} =\frac{14}{2} = 7.\)

\(x_{2} = \frac{6 - 8}{2\cdot1} =\frac{-2}{2} = -1.\)

Ответ: \(x = -1;  7\).

б) \(\dfrac{5x-1}{x+7}-\dfrac{2x+2}{x-3}+\dfrac{63}{x^{2}+4x-21}=0\)

\(x^{2}+4x-21 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 4\),  \(c = -21\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=4^2 - 4\cdot1\cdot(-21) = \)

\(=16 + 84 = 100 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 10\).

\(x_{1} = \frac{-4 + 10}{2\cdot1} =\frac{6}{2} = 3.\)

\(x_{2} = \frac{-4 - 10}{2\cdot1} =\frac{-14}{2} = -7.\)

\(x^{2}+4x-21 = (x - 3)(x + 7)\)

\(\dfrac{5x-1}{x+7}-\dfrac{2x+2}{x-3}+\dfrac{63}{(x - 3)(x + 7)}=0\)  \(/\times (x - 3)(x + 7)\)

ОДЗ: \(x - 3\ne 0\)  и  \(x + 7 \ne 0 \)

          \(x \ne 3\)             \(x \ne -7\)

\(5x - 1)(x - 3) - (2x + 2)(x + 7) + 63 = 0\)

\(5x^2 - 15x - x + 3 - (2x^2  + 14x + 2x + 14) + 63 = 0\)

\(5x^2 - 16x + 3 - 2x^2  - 14x - 2x - 14 + 63 = 0\)

\(3x^2 -32x + 52 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -32\),  \(c = 52\)

\(D = (-32)^2 - 4\cdot 3\cdot 52 = \)

\(= 1024 - 624 = 400 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt D = 20\).

\(x_{1} = \frac{32 + 20}{2\cdot3} =\frac{52}{6} = \frac{26}{3} =8\frac23.\)

\(x_{2} = \frac{32 - 20}{2\cdot3} =\frac{12}{6} = 2.\)

Ответ: \(x = 2;   8\frac23.\)

в) \(\dfrac{x}{x^{2}+4x+4}=\dfrac{4}{x^{2}-4}-\dfrac{16}{x^{3}+2x^{2}-4x-8}\)

\(x^{3}+2x^{2}-4x-8 = \)

\(=x^2(x + 2) - 4(x + 2)=\)

\(=(x + 2)(x^2 - 4) =\)

\(=(x+2)(x+2)(x - 2) =\)

\(= (x + 2)^2(x - 2)\).

\(\dfrac{x}{(x+2)^{2}}=\dfrac{4}{(x-2)(x+2)}-\dfrac{16}{ (x + 2)^2(x - 2)}\) \(/\times(x + 2)^2(x - 2)\)

ОДЗ: \(x + 2 \ne 0\)  и  \(x - 2 \ne 0\)

         \(x \ne - 2\)           \(x \ne 2\)

\(x(x-2) = 4(x + 2) - 16\)

\(x^2 - 2x = 4x + 8 - 16\)

\(x^2 - 2x = 4x -8\)

\(x^2 - 2x - 4x + 8 =0\)

\(x^2 - 6x + 8 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c = 8\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-6)^2 - 4\cdot1\cdot8 = \)

\(=36 + 32 = 4 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 2\).

\(x_{1} = \frac{6 + 2}{2\cdot1} =\frac{8}{2} = 4.\)

\(x_{2} = \frac{6 - 2}{2\cdot1} =\frac{4}{2} = 2\) - не является корнем.

Ответ: \(x = 4\).

Пояснения:

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

Алгоритм решения уравнений:

1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);

2) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, в каждом пункте трехчлен, стоящий в знаменателе разложили на множители по формуле:

\(x^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2)\),

где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трехчлена.

На каждом шаге важно проверять найденные значения на принадлежность области допустимых значений, чтобы не получить решения, при которых хотя бы один знаменатель равен нулю.

а) \(f(x)=|x^{2}-2x|\)

Нули функции:

\( x^{2}-2x=0\)

\(x(x-2) = 0\)

\(x = 0\)   или   \(x - 2 = 0\)

                       \(x = 2\)

1) Если \(x < 0\), то \(x(x-2)\ge 0\), тогда:

\( f(x)=x^{2}-2x. \)

2) Если  \(0 \le x \le 2\), то \(x(x-2)<0\), тогда:

\( f(x)=-(x^{2}-2x)= -x^{2}+2x. \)

3) Если \(x > 2\), то \(x(x-2)\ge 0\), тогда:

\( f(x)=x^{2}-2x. \)

\(f(x) = \begin{cases} x^{2}-2x, \, если \,  x \le 0,\\[2mm] -x^{2}+2x, \, если \,  0 < x < 2,\\[2mm] x^{2}-2x, \, если \,    x \ge 2 \end{cases}\)

\(y = x^{2}-2x\) - парабола.

1. \(a = 1 > 0\) - ветви параболы направлены вверх.

2. \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1\).

\(y_0 = 1^2 - 2\cdot1 = 1 - 2 = -1\).

\((1; -1)\) - вершина параболы.

\(x = -1\) - ось симметрии параболы.

3. Нули функции: \(x = 0\) и \(x = 2\).

4. Дополнительные точки:

б) \(f(x)=x^{2}-2|x|\)

1) Если \(x\ge 0\), то

\(f(x)=x^{2}-2x. \)

2) Если \(x<0\), то

\( f(x)=x^{2}+2x. \)

\( f(x)= \begin{cases} x^{2}+2x, & x<0,\\[2mm] x^{2}-2x, & x\ge 0. \end{cases} \)

\(y = x^{2}-2x\) - парабола.

1. \(a = 1 > 0\) - ветви параболы направлены вверх.

2. \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1\).

\(y_0 = 1^2 - 2\cdot1 = 1 - 2 = -1\).

\((1; -1)\) - вершина параболы.

\(x = -1\) - ось симметрии параболы.

3. Нули функции: \(x = 0\) и \(x = 2\).

4. Дополнительные точки:

\(y = x^{2}+2x\) - парабола, симметричная параболе \(y = x^{2}-2x\) относительно оси \(y\).

Пояснения:

Если \(y=|f(x)|\), то согласно определению модуля:

\(|f(x)|=\begin{cases} f(x), \, если \,  f(x) \ge 0,\\ -f(x), \, если \,  f(x) < 0. \end{cases} \)

Чтобы построить график функции \(y = |f(x)|\), если известен график функции \(y = f(x)\), нужно оставить на месте ту его часть, где \(f(x) \ge 0\), и симметрично отобразить относительно оси \(x\) другую его часть, где \(f(x) < 0\).

Если \(y=f(|x|)\), то согласно определению модуля:

\(f(|x|)=\begin{cases} f(x), \, если \,  x \ge 0,\\ f(-x), \, если \,  x < 0. \end{cases} \)

Чтобы построить график функции \(y=f(|x|)\), если известен график функции \(y = f(x)\), нужно оставить на месте ту часть графика функции \(y = f(x)\), которая соответствует неотрицательной части области определения функции \(y = f(x)\). Отразив эту часть симметрично относительно оси \(y\) получим другую часть графика, соответствующую отрицательной области определения.

Для пункта а.

Чтобы построить график функции \(f(x)=|x^{2}-2x|\), сначала строим параболу \(y=x^{2}-2x\) (ту часть графика, которая расположена ниже оси \(x\), намечаем пунктиром). Затем строим недостающую часть графика путем симметрии относительно оси \(x\)  - пунктирной части.

Для пункта б.

Чтобы построить график функции \(f(x)=x^{2}-2|x|\), учитывая то, что \(|x|^2 = x^2\), сначала строим параболу \(y=x^{2}-2x\) (ту часть графика, которая расположена левее оси \(y\), не строим). Затем путем симметрии относительно оси \(y\) строим недостающую часть графика.