Вернуться к содержанию учебника
Найдите корни уравнения:
а) \(\dfrac{3x-2}{x-1}-\dfrac{2x+3}{x+3}=\dfrac{12x+4}{x^{2}+2x-3};\)
б) \(\dfrac{5x-1}{x+7}-\dfrac{2x+2}{x-3}+\dfrac{63}{x^{2}+4x-21}=0;\)
в) \(\dfrac{x}{x^{2}+4x+4}=\dfrac{4}{x^{2}-4}-\dfrac{16}{x^{3}+2x^{2}-4x-8}.\)
Вспомните:
а) \(\dfrac{3x-2}{x-1}-\dfrac{2x+3}{x+3}=\dfrac{12x+4}{x^{2}+2x-3}\)
\(x^{2}+2x-3 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -3\)
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(=2^2 - 4\cdot1\cdot(-3) = \)
\(=4 + 12 = 16 > 0\) - 2 корня.
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt D = 4\).
\(x_{1} = \frac{-2 + 4}{2\cdot1} =\frac{2}{2} = 1.\)
\(x_{2} = \frac{-2 - 4}{2\cdot1} =\frac{-6}{2} = -3.\)
\(x^{2}+2x-3 = (x-1)(x+3)\)
\(\dfrac{3x-2}{x-1}-\dfrac{2x+3}{x+3}=\dfrac{12x+4}{(x-1)(x+3)}\) \(/\times(x-1)(x+3)\)
ОДЗ: \(x-1 \ne 0\) и \(x+3 \ne 0\)
\(x\neq1\) \(x\neq-3\)
\((3x-2)(x+3)-(2x+3)(x-1)=12x+4\)
\(3x^2 + 9x - 2x - 6 - (2x^2 - 2x + 3x - 3) = 12x + 4\)
\(3x^2 + 7x - 6 - 2x^2 + 2x - 3x + 3 - 12x - 4 = 0\)
\(x^2 - 6x - 7 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -6\), \(c = -7\)
\(D = (-6)^2 - 4 \cdot1\cdot(-7) =\)
\(=36 + 28 = 64 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt D = 8\)
\(x_{1} = \frac{6 + 8}{2\cdot1} =\frac{14}{2} = 7.\)
\(x_{2} = \frac{6 - 8}{2\cdot1} =\frac{-2}{2} = -1.\)
Ответ: \(x = -1; 7\).
б) \(\dfrac{5x-1}{x+7}-\dfrac{2x+2}{x-3}+\dfrac{63}{x^{2}+4x-21}=0\)
\(x^{2}+4x-21 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -21\)
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(=4^2 - 4\cdot1\cdot(-21) = \)
\(=16 + 84 = 100 > 0\) - 2 корня.
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt D = 10\).
\(x_{1} = \frac{-4 + 10}{2\cdot1} =\frac{6}{2} = 3.\)
\(x_{2} = \frac{-4 - 10}{2\cdot1} =\frac{-14}{2} = -7.\)
\(x^{2}+4x-21 = (x - 3)(x + 7)\)
\(\dfrac{5x-1}{x+7}-\dfrac{2x+2}{x-3}+\dfrac{63}{(x - 3)(x + 7)}=0\) \(/\times (x - 3)(x + 7)\)
ОДЗ: \(x - 3\ne 0\) и \(x + 7 \ne 0 \)
\(x \ne 3\) \(x \ne -7\)
\(5x - 1)(x - 3) - (2x + 2)(x + 7) + 63 = 0\)
\(5x^2 - 15x - x + 3 - (2x^2 + 14x + 2x + 14) + 63 = 0\)
\(5x^2 - 16x + 3 - 2x^2 - 14x - 2x - 14 + 63 = 0\)
\(3x^2 -32x + 52 = 0\)
\(a = 3\), \(b = -32\), \(c = 52\)
\(D = (-32)^2 - 4\cdot 3\cdot 52 = \)
\(= 1024 - 624 = 400 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt D = 20\).
\(x_{1} = \frac{32 + 20}{2\cdot3} =\frac{52}{6} = \frac{26}{3} =3\frac23.\)
\(x_{2} = \frac{32 - 20}{2\cdot3} =\frac{12}{6} = 2.\)
Ответ: \(x = 2; 3\frac23.\)
в) \(\dfrac{x}{x^{2}+4x+4}=\dfrac{4}{x^{2}-4}-\dfrac{16}{x^{3}+2x^{2}-4x-8}\)
\(x^{3}+2x^{2}-4x-8 = \)
\(=x^2(x + 2) - 4(x + 2)=\)
\(=(x + 2)(x^2 - 4) =\)
\(=(x+2)(x+2)(x - 2) =\)
\(= (x + 2)^2(x - 2)\).
\(\dfrac{x}{(x+2)^{2}}=\dfrac{4}{(x-2)(x+2)}-\dfrac{16}{ (x + 2)^2(x - 2)}\) \(/\times(x + 2)^2(x - 2)\)
ОДЗ: \(x + 2 \ne 0\) и \(x - 2 \ne 0\)
\(x \ne - 2\) \(x \ne 2\)
\(x(x-2) = 4(x + 2) - 16\)
\(x^2 - 2x = 4x + 8 - 16\)
\(x^2 - 2x = 4x -8\)
\(x^2 - 2x - 4x + 8 =0\)
\(x^2 - 6x + 8 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 8\)
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(=(-6)^2 - 4\cdot1\cdot8 = \)
\(=36 + 32 = 4 > 0\) - 2 корня.
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt D = 2\).
\(x_{1} = \frac{6 + 2}{2\cdot1} =\frac{8}{2} = 4.\)
\(x_{2} = \frac{6 - 2}{2\cdot1} =\frac{4}{2} = 2\) - не является корнем.
Ответ: \(x = 4\).
Пояснения:
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
Алгоритм решения уравнений:
1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;
2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);
3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4) решить получившееся целое уравнение;
5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, в каждом пункте трехчлен, стоящий в знаменателе разложили на множители по формуле:
\(x^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2)\),
где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трехчлена.
На каждом шаге важно проверять найденные значения на принадлежность области допустимых значений, чтобы не получить решения, при которых хотя бы один знаменатель равен нулю.
Вернуться к содержанию учебника