Упражнение 305 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1) \( y = x^{4} - ax^{3} - 10x^{2} + 80x - 96 \)

\((4;\,0)\)

\( 4^{4} - a\cdot4^{3} - 10\cdot4^{2} + 80\cdot4 - 96 = 0\)

\( 256 - 64a - 160 + 320 - 96 = 0\)

\( 320 - 64a = 0\)

\( 64a = 320\)

\(a = \frac{320}{64}\)

\(a = 5\)

2) \( y = x^{4} - 5x^{3} - 10x^{2} + 80x - 96\)

С осью \(x\):  \(y = 0\).

\(x = 4\) — корень уравнения.

\( x^{4} - 5x^{3} - 10x^{2} + 80x - 96 = (x - 4)(x^{3} - x^{2} - 14x + 24)\)

\( (x - 4)(x^{3} - x^{2} - 14x + 24)=0\)

\((x^{3} - x^{2} - 14x + 24)=0\)

\(\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm8,\pm12,\pm24\) - делители числа 24.

Если \(x = 2\), то

\( 2^{3} - 2^{2} - 14\cdot2 + 24 =0\)

\(8 - 4 - 28 + 24 = 0\)

\(0 = 0\)  - верно.

\(x = 2\) — корень уравнения.

\((2; 0)\) - точка пересечения с осью \(x\).

\( x^{3} - x^{2} - 14x + 24 = (x - 2)(x^{2} + x - 12)\)

\((x - 2)(x^{2} + x - 12)=0\)

\(x^{2} + x - 12 = 0\)

\(D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-12) =\)

\(=1 + 48 = 49 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{49} = 7\).

\(x_1 = \frac{-1 + 7}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).

\(x_2 = \frac{-1 - 7}{2\cdot1} = \frac{-8}{2} = -4\).

\((3; 0),\, (-4; 0)\) - точки пересечения с осью \(x\).

Ответ: \(a = 5\), \((2,0),\, (-4,0),\, (3,0). \)

Пояснения:

Если точка \((x_0,0)\) лежит на графике, то \(x_0\) — корень уравнения, значит подстановка даёт уравнение для нахождения \(a\).

Чтобы найти точки пересечения с \(Ox\), нужно решить уравнение \(y = 0\).

По условию \((4; 0)\) точка на графике рассматриваемой функции, значит, \(x = 4\) - корень уравнения. Используя этот корень, раскладываем многочлен на множители, для этого делим многочлен \(x^{4} - ax^{3} - 10x^{2} + 80x - 96\) на \((x - 4)\) (столбиком) и получаем многочлен меньшей степени (третьей). Процесс можно повторять, пока степень не станет 2, при этом учитываем то, что если многочлен имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (последнего числового коэффициента). В данном случае, мы определили, что корнем многочлена \( x^{3} - x^{2} - 14x + 24\) является число \(2\). Снова разделили уголком многочлен на \((x - 2)\) и получили многочлен второй степени.

Квадратное уравнение

\(ax^{2} + bx + c = 0\)

решается через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\[ x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

а) \(2x^2 + 3x - 5 \ge 0\)

\(y = 2x^2 + 3x - 5\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 2 > 0\).

\(2x^2 + 3x - 5 = 0\)

\(D = 3^2 - 4\cdot 2 \cdot (-5) =\)

\(=9 + 40 = 49 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt D = 7\).

\(x_{1} = \frac{-3 - 7}{2\cdot 2} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} = -2,5\)

\(x_{2} = \frac{-3 + 7}{2\cdot 2} = \frac{4}{4} = 1\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -2,5] \cup [1; +\infty )\).

б) \(-6x^2 + 6x + 36 \ge 0\)

\(y = -6x^2 + 6x + 36\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = - 6 < 0\).

\(-6x^2 + 6x + 36 = 0\)

\(D = 6^2 - 4\cdot (-6)\cdot 36 =\)

\(=36 + 864 = 900 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1} = \frac{-6 - 30}{2\cdot (-6)} = \frac{-36}{-12} = 3.\)

\(x_{2} = \frac{-6 + 30}{2\cdot (-6)} = \frac{24}{-12} = -2.\)

Ответ: \(x \in [-2;\,3]\).

в) \(-x^2 + 5 \le 0\)

\(y = -x^2 + 5\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -1 < 0\).

\(-x^2 + 5 = 0\)

\(-x^2 = -5\)

\(x^2 = 5\)

\(x = \pm \sqrt5\)

Ответ: \(x \in (-\infty ; -\sqrt5] \cup [\sqrt5; +\infty)\).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\) и \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) и выясняем имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

В случае, когда коэффициент \(b = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + c\), корни которого: \(x_1 = -\sqrt{\frac{-c}{a}}\) и \(x_2= \sqrt{\frac{-c}{a}}\).