Вернуться к содержанию учебника
Решите уравнение, используя введение новой переменной:
а) \((x^{2} + 8x)^{2} - 4(x + 4)^{2} = 256;\)
б) \(2(x^{2} - 6x)^{2} - 120(x - 3)^{2} = 8.\)
Вспомните:
а) \((x^{2} + 8x)^{2} - 4(x + 4)^{2} = 256\)
\((x^{2} + 8x)^{2} - 4(x^2 + 8x + 16) = 256\)
Пусть \(x^2 + 8x = t\)
\(t^2 - 4(t + 16) = 256\)
\(t^2 - 4t - 64 - 256 = 0\)
\(t^2 - 4t - 320 = 0\)
\(D = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot (-320) =\)
\(=16 + 1280 = 1296 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt{1296} = 36\).
\(t_1 = \frac{4 + 36}{2\cdot1} = \frac{40}{2} = 20\).
\(t_2 = \frac{4 - 36}{2\cdot1} = \frac{-32}{2} = -16\).
1) Если \(t = 10\), то
\(x^2 + 8x = 20\)
\(x^2 + 8x - 20 = 0\)
\(D = 8^2 - 4\cdot1\cdot(-20) =\)
\(=64 + 80 = 144 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt {144} = 12\).
\(x_1 = \frac{-8 + 12}{2\cdot1} =\frac{4}{2} = 2 \).
\(x_2 = \frac{-8 - 12}{2\cdot1} =\frac{-20}{2} = -10 \).
2) Если \(t = -16\), то
\(x^2 + 8x = -16\)
\(x^2 + 8x + 16 = 0\)
\(D = 8^2 - 4\cdot1\cdot16 = \)
\( = 64 - 64 = 0\) - 1 корень.
\(x = \frac{-8}{2\cdot1} = -\frac{8}{2} = -4\).
Ответ: \( -10;\; -4;\; 2\).
б) \(2(x^{2} - 6x)^{2} - 120(x - 3)^{2} = 8\) \(/ : 2\)
\((x^{2} - 6x)^{2} - 60(x - 3)^{2} = 4\)
\((x^{2} - 6x)^{2} - 60(x^2 -6x + 9) = 4\)
Пусть \(x^{2} - 6x = t\).
\(t^2 -60(t + 9) = 4\)
\(t^2 - 60t - 540 - 4 = 0\)
\( t^2 - 60t - 544 = 0\)
\(D = (-60)^2 - 4\cdot1\cdot(-544) = \)
\( = 3600 + 2176 = 5776 > 0\) - корня.
\(\sqrt {5776} = 76\).
\(t_1 = \frac{60 + 76}{2\cdot1} = \frac{136}{2} = 68\).
\(t_2 = \frac{60 - 76}{2\cdot1} = \frac{-16}{2} = -8\).
1) Если \(t = 68\), то
\(x^{2} - 6x = 68\)
\(x^{2} - 6x - 68=0\)
\(D = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot(-68) = \)
\( = 36 + 272 = 308 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt {308} = \sqrt{4\cdot77} = 2\sqrt{77}\).
\(x_{1,2} = \frac{6 \pm 2\sqrt77}{2} = 3 \pm 2\sqrt{77}\).
2) Если \(t = -8\), то
\(x^{2} - 6x = -8\)
\(x^{2} - 6x + 8 = 0\)
\(D = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot 8 = \)
\(=36 - 32 = 4 > 0 \) - 2 корня.
\(\sqrt4 = 2\).
\(x_1 = \frac{6 + 2}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4\).
\(x_2 = \frac{6 - 2}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\).
Ответ: \( 2;\; 4;\; 3 - \sqrt{77};\; 3 + \sqrt{77}\).
Пояснения:
В обоих уравнениях сначала применяем формулы квадрата суммы и квадрата разности:
- в пункте а)
\((x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16\);
- в пункте б)
\((x - 3)^2 = x^2 -6x + 9\).
Это позволяет ввести новую переменную \(t\):
- в пункте а) \(x^2 + 8x = t\);
- в пункте б) \(x^{2} - 6x = t\).
После замены получаем обычное квадратное уравнение относительно \(t\), которое приводим к виду \[ at^{2} + bt + c = 0 \] и находим корни через дискриминант:
\(D = b^2 - 4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a} \).
На последнем шаге возвращаемся к исходной переменной \(x\), и решаем квадратные уравнения через дискриминант относительно переменной \(x\).
Вернуться к содержанию учебника