Упражнение 309 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 104

1) \(x^{3} - x + 3 = 0\)

Делители числа \(3\):

\(\pm1,\, \pm3\).

Если \(x = 1\), то

\(1^3-1+3 = 1-1+3=3\neq0\)

Если \(x = -1\), то

\((-1)^3-(-1)+3=-1+1+3=\)

\(=3\neq0\).

Если \(x = 3\), то

\(3^3 - 3 + 3=27-3+3=27\neq0\).

Если \(x = -3\), то

\((-3)^3 - (-3) + 3=-27+3+3=\)

\(=-21\neq0\).

Целых корней нет.

2) \(x^{4} + 5x^{2} + 4 = 0\)

\(x^4 \ge 0\), \(x^2 \ge 0\), тогда

\(x^{4} + 5x^{2} + 4 > 0\)

Уравнение не имеет корней.

3) \(x^{4} + x^{2} - 20 = 0\)

Делители числа \(20\):

\(\pm1,\, \pm2,\, \pm4,\, \pm5,\, \pm10,\, \pm20\).

Если \(x = 1\), то

\(1^{4} + 1^{2} - 20 = -18 \neq 0\).

Если \(x = -1\), то

\((-1)^{4} + (-1)^{2} - 20 =\)

\(=1 + 1 - 20 =-18 \neq 0\).

Если \(x = 2\), то

\(2^{4} + 2^{2} - 20 =16 + 4 - 20 = 0\)

\(x = 2\) - корень уравнения.

Если \(x = -2\), то

\((-2)^{4} + (-2)^{2} - 20 =\)

\(=16 + 4 - 20 = 0\).

\(x = -2\) - корень уравнения.

Уравнение имеет не менее двух целых корней.

4) \(x^{3} - 5x + 4 = 0\)

Делители числа \(4\):

\(x=\pm1,\pm2,\pm4\).

Если \(x = 1\), то

\(1^{3} - 5\cdot1 + 4 =1-5+4= 0\)

\(x = 1\) - корень уравнения.

Если \(x = -1\), то

\((-1)^{3} - 5\cdot(-1) + 4 =\)

\(=-1+5+4= 8 \neq0\)

Если \(x = 2\), то

\(2^{3} - 5\cdot2 + 4 =8-10+4= 2 \neq0\)

Если \(x = -2\), то

\((-2)^{3} - 5\cdot(-2) + 4 =\)

\(=-8+10+4= 6 \neq0\)

Если \(x = 4\), то

\(4^{3} - 5\cdot4 + 4 =64-20+4=\)

\(=48 \neq0\)

Если \(x = -4\), то

\((-4)^{3} - 5\cdot(-4) + 4 =\)

\(=-64+20+4= -40 \neq0\)

Уравнение имеет один целый корень.

Ответ: уравнение 4.

Пояснения:

Для многочлена с целыми коэффициентами возможные целые корни являются делителями свободного члена (последний коэффициент). Поэтому подстановкой проверяем эти числа и выбираем то уравнение, в котором только один целый корень.

Во втором уравнении подстановку не выполняем, так как в нем четные степени и значение выражения всегда будет положительным, так как свободный член больше нуля, то есть то уравнение не имеет никаких корней.