Теорема Виета

 Теорема Виета

Доказательство:

Так как условие теоремы предполагает, что данное квадратное уравнение имеет корни, то его дискриминант не может быть отрицательным. Пусть >0. Применив формулу корней квадратного уравнения, мы можем записать:

Имеем:

Пусть =0. В этом случае, считают, что имеем:

Следствие

То есть: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Заметим, что в некоторых источниках именно эту формулировку принимают за теорему Виета.

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа и таковы, что и , то эти числа являются корнями квадратного уравнения .

Доказательство:

Рассмотрим квадратное уравнение Преобразуем его в приведенное:

Согласно условию теоремы это уравнение можно записать так:

Подставим в левую часть уравнения вместо сначала число , затем число . Получим:

Таким образом, числа и являются корнями уравнения (*), а следовательно, и корнями квадратного уравнения

Следствие

Если числа и таковы, что и , то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения .