Теорема Виета

 Теорема Виета

Если и - корни квадратного уравнения , то

Доказательство:

Так как условие теоремы предполагает, что данное квадратное уравнение имеет корни, то его дискриминант не может быть отрицательным. Пусть >0. Применив формулу корней квадратного уравнения, мы можем записать:

Имеем:

Пусть =0. В этом случае, считают, что имеем:

Следствие

Если и - корни приведённого квадратного уравнения , то

То есть: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Заметим, что в некоторых источниках именно эту формулировку принимают за теорему Виета.

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа и таковы, что и , то эти числа являются корнями квадратного уравнения .

Доказательство:

Рассмотрим квадратное уравнение Преобразуем его в приведенное:

Согласно условию теоремы это уравнение можно записать так:

Подставим в левую часть уравнения вместо сначала число , затем число . Получим:

Таким образом, числа и являются корнями уравнения (*), а следовательно, и корнями квадратного уравнения

Следствие

Если числа и таковы, что и , то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения .

Советуем посмотреть:

Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений.

Формула корней квадратного уравнения

Квадратный трёхчлен

Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

Введение в алгебру

Линейное уравнение с одной переменной

Решение задач с помощью уравнений

Тождественно равные выражения. Тождества

Степень с натуральным показателем

Свойства степени с натуральным показателем

Одночлены

Многочлены

Сложение и вычитание многочленов

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Разложение многочленов на множители

Формулы сокращенного умножения

Рациональные выражения

Функции

Квадратные корни. Дейстительные числа

Квадратные уравнения

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Элементы математической логики

Алгебра

Правило встречается в следующих упражнениях:

8 класс

Номер 716, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 730, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 743, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 756, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 768, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 781, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 785, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 787, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 921, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 929, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник