Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№837 учебника 2023-2026 (стр. 209):
Если в многочлен \(ax^3+bx^2+cx+d\) вместо \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) подставлять числа \(-7\), \(4\), \(-3\) и \(6\) в каком угодно порядке, будут получаться многочлены с одной переменной, например: \(-7x^3+4x^2-3x+6\), \(4x^3-7x^2+6x-3\) и т. д. Докажите, что все такие многочлены имеют общий корень.
№837 учебника 2014-2022 (стр. 216):
Найдите наименьшее значение \(n\), при котором число \(n!\) оканчивается:
а) одним нулём;
б) двумя нулями;
в) тремя нулями.
№837 учебника 2023-2026 (стр. 209):
Вспомните:
№837 учебника 2014-2022 (стр. 216):
Вспомните, признак делимости на 10.
№837 учебника 2023-2026 (стр. 209):
Пусть \(P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\),
где числа \(a,b,c,d\) — это \(-7,4,-3,6\) в некотором порядке.
\(P(1)=a\cdot1^3+b\cdot1^2+c\cdot1+d=\)
\(=a+b+c+d\)
\(-7+4-3+6=0\)
\(a+b+c+d=0\)
\(P(1)=0\)
Общий корень всех таких многочленов: \(x=1\).
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
1. Что значит «общий корень».
Если число \(x_0\) является корнем многочлена \(P(x)\), то \(P(x_0)=0\). «Общий корень» для всех многочленов означает одно и то же число \(x_0\), при подстановке которого любой из полученных многочленов обращается в нуль.
2. Почему удобно подставлять \(x=1\).
Если подставить \(x=1\) в выражение \(ax^3+bx^2+cx+d\), получаем:
\[P(1)=a+b+c+d,\]
потому что \(1^3=1^2=1\).
3. Независимость от порядка коэффициентов.
В условии числа \(-7\), \(4\), \(-3\), \(6\) просто переставляются местами между \(a,b,c,d\), но их сумма от перестановки не меняется. Поэтому для любого порядка:
\(a+b+c+d=\)
\(=(-7)+4+(-3)+6=0.\)
4. Вывод.
Раз \(P(1)=0\) для любого такого многочлена, то число \(1\) — общий корень всех многочленов, полученных перестановкой коэффициентов \(-7\), \(4\), \(-3\), \(6\).
№837 учебника 2014-2022 (стр. 216):
\(n! = 1\cdot2\cdot3\cdot ... \cdot n\)
\(10 = 2\cdot5\)
а) \(5! = 1\cdot\underline{2}\cdot3\cdot4\cdot\underline{5} = 120\)
б) \(10! = 1\cdot\underline{2}\cdot3\cdot4\cdot\underline{5}\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot\underline{10}\)
в) \(10! = 1\cdot\underline{2}\cdot3\cdot4\cdot\underline{5}\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot\underline{10}\cdot11\cdot\underline{12}\cdot13\cdot14\cdot\underline{15}\)
Пояснения:
Число \(n!\) — это произведение всех натуральных чисел от \(1\) до \(n\):
\[ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n \]
Нуль в конце числа появляется тогда, когда в разложении есть множитель \(10\).
Так как \( 10 = 2 \cdot 5, \) то каждый нуль на конце получается из одной пары множителей \(2\) и \(5\).
В произведении \(n!\) множителей \(2\) всегда больше, чем множителей \(5\), поэтому количество нулей на конце определяется количеством множителей \(5\).
Для одного нуля нужен хотя бы один множитель \(5\). Впервые он появляется в числе \(5\), значит:
\[ 5! = 120 \]
Поэтому наименьшее \(n\) в пункте а):
\[ n = 5 \]
Для двух нулей нужны уже два множителя \(5\). Один множитель \(5\) даёт число \(5\), второй множитель \(5\) впервые появляется в числе \(10\):
\[ 10 = 2 \cdot 5 \]
Значит, в \(10!\) уже есть два множителя \(5\), поэтому:
\[ 10! \text{ оканчивается двумя нулями} \]
Отсюда, \( n = 10 \).
Для трёх нулей нужны три множителя \(5\). Третий множитель \(5\) появляется в числе \(15\):
\[ 15 = 3 \cdot 5 \]
Следовательно, в \(15!\) уже есть три множителя \(5\), и потому:
\[ 15! \text{ оканчивается тремя нулями} \]
Значит, \( n = 15 \).
Вернуться к содержанию учебника