Упражнение 732 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 195

а) \(0{,}3x(x+13)-2x(0{,}9-0{,}2x)=0\)

\[0{,}3x^2+3{,}9x-1{,}8x+0{,}4x^2=0\]

\[0{,}7x^2+2{,}1x=0\]

\[0{,}7x(x+3)=0\]

\(x=0\)  или  \(x+3=0\)

                    \(x=-3\)

Ответ: \(-3; \, 0\).

б) \(1{,}5x(x+4)-x(7-0{,}5x)=0{,}5(10-2x)\)

\[1{,}5x^2+6x-7x+0{,}5x^2=5-x\]

\[2x^2-x=5-x\]

\[2x^2-x-5+x=0\]

\[2x^2=5\]

\[x^2=\frac{5}{2}\]

\(x^2 = 2,5\)

\[x=\pm \sqrt{2,5}\]

Ответ: \(-\sqrt{2,5}\);   \(\sqrt{2,5}\).

в) \(\frac{(2x+1)^2}{25}-\frac{x-1}{3}=x\) \(/\times 75\)

\(3(2x+1)^2-25(x-1)=75x\)

\[3(4x^2+4x+1)-25x+25=75x\]

\[12x^2+12x+3-25x+25-75x=0\]

\(12x^2-88x+28=0\)   \(/ : 4\)

\(3x^2 - 22x + 7 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -22\),  \(c = 7\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-22)^2-4\cdot 3\cdot 7=\)

\(=484-84=400 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),  \(\sqrt{400}=20\)

\(x_{1} = \frac{22 + 20}{2\cdot3}=\frac{42}{6}=7\)

\(x_{2} = \frac{22 - 20}{2\cdot3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

Ответ: \(\frac{1}{3}; \, 7\).

г) \(\frac{(3x+2)^2}{11}-\frac{x+5}{4}=x^2\) \(/\times 44\)

\(4(3x+2)^2-11(x+5)=44x^2\)

\[4(9x^2+12x+4)-11x-55-44x^2 = 0\]

\[36x^2+48x+16-11x-55-44x^2=0\]

\(-8x^2+37x-39=0\)  \(/\times (-1)\)

\[8x^2-37x+39=0\]

\(a = 8\),  \(b = -37\),  \(c = 39\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\[=(-37)^2-4\cdot 8\cdot 39=\]

\(=1369-1248=121 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),  \(\sqrt{121}=11\)

\[x_1=\frac{37 + 11}{2\cdot8} =\frac{48}{16} = 3\]

\[x_2=\frac{37 - 11}{2\cdot8} =\frac{26}{16} = \frac{13}{8} =1\frac{5}{8} \]

Ответ: \(1\frac{5}{8}; \, 3\).

д) \(\frac{(2-x)^2}{3}-2x=\frac{(7+2x)^2}{5}\) \(/\times 15\)

\(5(2-x)^2-30x=3(7+2x)^2\)

\(5(x^2-4x+4)-30x=3(49+28x+4x^2)\)

\[5x^2-20x+20-30x=12x^2+84x+147\]

\[5x^2-50x+20=147+84x+12x^2\]

\[5x^2-50x+20-147-84x-12x^2=0\]

\(-7x^2-134x-127=0\)  \(/\times (-7)\)

\[7x^2+134x+127=0\]

\(a = 7\),  \(b = 134\),  \(c = 127\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\[=134^2-4\cdot 7\cdot 127=\]

\(=17956-3556=14400 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), 

\(\sqrt{14400}=120\)

\[x_1=\frac{-134 + 120}{2\cdot7}=\frac{-14}{14} = -1\]

\(x_2=\frac{-134 - 120}{2\cdot7}=\frac{-254}{14} =\)

\(=-\frac{127}{7} = -18\frac{1}{7} \)

Ответ: \(-18\frac{1}{7}; \, -1\).

е) \(\frac{(6-x)^2}{8}+x=7-\frac{(2x-1)^2}{3}\) \(/\times 24\)

\(3(6-x)^2+24x=168-8(2x-1)^2\)

\[3(x^2-12x+36)+24x=168-8(4x^2-4x+1)\]

\[3x^2-36x+108+24x=168-32x^2+32x-8\]

\[3x^2-12x+108=160-32x^2+32x\]

\[3x^2-12x+108-160+32x^2-32x = 0\]

\[35x^2-44x-52=0\]

\[D=(-44)^2-4\cdot 35\cdot (-52)=\]

\(=1936+7280=9216 > 0\) - два действительных корня.

\(\sqrt{9216}=96\)

\[x_1=\frac{44 + 96}{2\cdot35} =\frac{140}{70} = 2 \]

\[x_2=\frac{44 - 96}{2\cdot35} =\frac{-52}{70} = -\frac{26}{35}\]

Ответ: \(-\frac{26}{35}; \, 2\).

Пояснения:

Используемые правила:

- распределительное свойство умножения:

\(a(b+c)=ab+ac,\)

\(a(b-c)=ab-ac\)

- квадрат суммы двух выражений:

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

- квадрат разности двух выражений:

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

- свойство степени:

\((ab)^2 = a^2b^2\)

- умножение дробей:

\(\frac{A}{m}\cdot m= A\)

- полное квадратное уравнение:

\(ax^2+bx+c=0\)

решаем через дискриминант

\(D=b^2-4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня:

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\)

- неполное квадратные уравнение

\(ax^2 + bx = 0\) решаем через разложение на множители (выносим \(x\) за скобки\) и учитываем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

\[ab=0 \Rightarrow a=0 \text{ или } b=0.\]

- неполное квадратные уравнение

\(ax^2 + c = 0 \) решаем, выразив \(x^2\), а затем находим \(x\), извлекая квадратный корень из правой части уравнения, при этом получаем два противоположных корня.