Упражнение 731 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(kx^2+8x-15=0\)

\(a = k\),  \(b = 8\),  \(c = -15\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\[=8^2-4\cdot k\cdot (-15)=64+60k\]

Уравнение не имеет корней, если \(D < 0\).

\[64+60k<0\]

\(60k<-64\)   \( : 60\)

\(k<-\frac{64}{60}\)

\(k < -\frac{16}{15}\)

\(k < -1\frac{1}{15}\)

Ответ: при \(k < -1\frac{1}{15}\).

б) \(6x^2-3x+k=0\)

\(a = 6\),  \(b = -3\),  \(c = k\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\[=(-3)^2-4\cdot 6\cdot k=\]

\[=9-24k\]

Уравнение не имеет корней, если \(D < 0\).

\[9-24k<0\]

\(-24k<-9\)   \( /: (-24)\)

\[k>\frac{9}{24}\]

\[k>\frac{3}{8}\]

Ответ: при \(k>\frac{3}{8}\).

в) \(5x^2+kx+1=0\)

\(a = 5\),  \(b = k\),  \(c = 1\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\[=k^2-4\cdot 5\cdot 1=k^2-20\]

Уравнение не имеет корней, если \(D < 0\).

\(k^2-20 < 0\)

\((k-\sqrt{20})(k+\sqrt{20}) < 0\)

\((k-\sqrt{20})(k+\sqrt{20}) = 0\)

\(k-\sqrt{20} = 0\)  или  \(k+\sqrt{20} < 0\)

\(k=\sqrt{20} \)                 \(k=-\sqrt{20} \) 

\(k=\sqrt{4\cdot5} \)              \(k=-\sqrt{4\cdot5} \) 

\(k=2\sqrt{5} \)                 \(k=-2\sqrt{5} \) 

Ответ: \(x \in (-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5})\).

г) \(7x^2-kx-1=0\)

\(a = 7\),  \(b = -k\),  \(c = -1\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-k)^2 - 4\cdot7\cdot(-1) =\)

\(=k^2 + 28\)

Уравнение не имеет корней, если \(D < 0\).

\(k^2 + 28 > 0\) при любом \(k\).

Ответ: таких \(k\) не существует.

Пояснения:

Квадратное уравнение

\[ax^2+bx+c=0,\]

не имеет корней в том случае, когда дискриминант \[D=b^2-4ac\] отрицателен, то есть \(D < 0\).

В каждом случае находим дискриминант уравнения и решаем неравенство, учитывая то, что дискриминант должен быть отрицателен.

а)

\[ y = x^2 + 15 \]

\[ y \ge 15 \]

б)

\[ y = (x - 16)^2 \]

\[ y \ge 0 \]

в)

\[ y = -x^2 + 8 \]

\[ y \le 8 \]

Пояснения:

Во всех заданиях используется базовая квадратичная функция:

\[ y = x^2 \]

Её свойства:

\[ y \ge 0 \]

минимальное значение равно \(0\) при \(x=0\).

График — парабола, ветви направлены вверх.

а) \(y = x^2 + 15\)

Это график функции \(y = x^2\), сдвинутый вверх на \(15\) единиц.

Минимум был \(0\), стал:

\[ 0 + 15 = 15 \]

Поэтому область значений:

\[ y \ge 15 \]

б) \(y = (x - 16)^2\)

Это график функции \(y = x^2\), сдвинутый вправо на \(16\).

Минимум достигается при:

\[ x = 16 \]

Значение функции:

\[ y = 0 \]

Область значений:

\[ y \ge 0 \]

в) \(y = -x^2 + 8\)

Это график функции \(y = x^2\), отражённый относительно оси \(x\) и затем сдвинутый вверх на \(8\).

Теперь ветви направлены вниз.

Максимум достигается при:

\[ x = 0 \]

\[ y = 8 \]

Поэтому область значений:

\[ y \le 8 \]

Вывод:

а) \(y \ge 15\)

б) \(y \ge 0\)

в) \(y \le 8\)