Упражнение 734 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть в классе \(x\) учеников (\(x > 0\)). Каждый ученик передал \(x - 1\) фотографию. Всего было передано \(600\) фотографий.

Составим уравнение:

\[x(x-1)=600\]

\[x^2-x-600=0\]

\(a = 1\),  \(b = -1\),  \(c = -600\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\[=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-600)=\]

\(=1+2400=2401 > 0 \) - два действительных корня.

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\),  \(\sqrt{2401}=49\)

\[x_1=\frac{1 + 49}{2\cdot1} =\frac{50}{2} = 25 \]

\(x_2=\frac{1 - 49}{2\cdot1} =\frac{-48}{2} = -24 \) - не удовлетворяет условию.

Ответ: в классе \(25\) учеников.

Пояснения:

Используемые рассуждения:

Если в классе \(x\) учеников, то каждый ученик передаёт свои фотографии \(x-1\) другим ученикам.

Значит всего передано фотографий:

\[x(x-1).\]

По условию это число равно \(600\), получаем уравнение:

\[x(x-1)=600.\]

Раскрыв скобки, имеем квадратное уравнение:

\[n^2-n-600=0.\]

Находим дискриминант:

\[D= b^2 - 4ac=2401.\]

Корни уравнения находим по формуле:

\[x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\]

Отрицательное значение не подходит по смыслу задачи. Следовательно, в классе \(25\) учеников.

\[ 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 362880 \]

Пояснения:

В задаче используется правило перестановок.

Если нужно расположить \(n\) различных объектов в ряд, то число способов равно:

\[ n! \]

Факториал определяется как:

\[ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \]

В данной задаче:

\[ n = 9 \]

Следовательно:

\[ 9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 362880 \]

Почему именно так?

На первое место может встать любой из 9 человек:

\[ 9 \text{ способов} \]

На второе место — любой из оставшихся:

\[ 8 \text{ способов} \]

И так далее, пока не останется один человек.

По правилу умножения:

\[ 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \]

Важно:

Порядок имеет значение, так как важно, кто стоит первым, вторым и т.д.

Ответ:

\[ 362880 \]