Упражнение 735 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 195

Пусть цифра единиц равна \(x\), тогда цифра десятков равна \(x-3\). Значит искомое число:

\(10(x-3)+x=10x - 30 + x=\)

\(=11x-30\)

Сумма цифр искомого числа:

\((x-3)+x=2x-3\).

Составим уравнение:

\[(11x-30)(2x-3)=70\]

\[22x^2-33x-60x+90-70 = 0\]

\[22x^2-93x+20=0\]

\(a = 22\),  \(b = -93\),  \(c = 20\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\[=(-93)^2-4\cdot 22\cdot 20=\]

\(=8649-1760=6889 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),  \(\sqrt{6889}=83\)

\[x_1=\frac{93 + 83}{2\cdot22}=\frac{176}{44}= 4\]

\(x_2=\frac{93 - 83}{2\cdot22}=\frac{10}{44}= \frac{5}{22}\) - не удовлетворяет условию.

\(4\) - цифра единиц.

\(4-3=1\) - цифра десятков.

Ответ: число \(14\).

Пояснения:

Используемые правила:

\[\text{Двузначное число }=10a+b\]

\[\text{Сумма цифр }=a+b\]

Квадратное уравнение

\(ax^2+bx+c=0\)

решаем через дискриминант

\(D=b^2-4ac.\)

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня:

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\).

Обозначаем цифру единиц через \(x\). По условию цифра десятков на \(3\) меньше, значит она равна \(x-3\).

Само число равно

\(10(x-3)+x\), так как десятки умножаются на \(10\).

Сумма цифр числа равна

\((x-3)+x=2x-3\).

По условию произведение числа на сумму цифр равно \(70\). Получаем уравнение:

\[(11x-30)(2x-3)=70.\]

После раскрытия скобок получаем квадратное уравнение

\(22x^2-93x+20=0\). Дискриминант равен \(6889\), его корень \(83\).

Из двух решений подходит только значение \(x=4\), так как цифра должна быть числом от \(0\) до \(9\).

Тогда цифра десятков равна \(1\), а искомое число равно \(14\).