Упражнение 736 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 195

\[0{,}24\text{ га}=2400\text{ м}^2\]

Пусть один катет равен \(x\) м (\(x > 0\)), тогда другой равен \(x+20\) м.

\(\frac{x(x+20)}{2}=2400\)  \(/\times 2\)

\[x(x+20)=4800\]

\[x^2+20x-4800=0\]

\(a = 1\),  \(b = 20\),  \(c = -4800\)

\(D = b^2 -4ac =\)

\[=20^2-4\cdot 1\cdot (-4800)=\]

\(=400+19200=19600 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),  \(\sqrt{19600}=140\)

\[x_1=\frac{-20 + 140}{2\cdot1} = \frac{120}{2} = 60\]

\(x_1=\frac{-20 - 140}{2\cdot1} = \frac{-160}{2} = -80\) - не удовлетворяет условию.

\(60\) м - длина одного катета.

\(60 + 20 = 80\) (м) - длина второго катета.

По теореме Пифагора:

\(\sqrt{60^2+80^2}=\sqrt{3600+6400}=\)

\(\sqrt{10000}=100\) (м) - длина гипотенузы.

\(P = 60+80+100=240\) (м)

Ответ: длина границы участка равна \(240\) м.

Пояснения:

Используемые приемы и формулы:

\[1\text{ га}=10000\text{ м}^2\]

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[S=\frac{ab}{2}.\]

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\[c=\sqrt{a^2+b^2}\]

Периметр треугольника равен сумме длин трех его сторон:

\[P=a+b+c\]

Сначала переводим площадь из гектаров в квадратные метры:

\[0{,}24\cdot 10000=2400\text{ м}^2.\]

Обозначаем меньший катет через \(x\), тогда второй равен \(x+20\).

Составляем уравнение:

\[\frac{x(x+20)}{2}=2400.\]

Домножив обе части уравнения на \(2\), получаем квадратное уравнение.

Квадратное уравнение:

\(ax^2+bx+c=0\)

решаем через дискриминант

\(D=b^2-4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня:

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\)

Отрицательный корень нам не подходит, так как длина не может быть отрицательным числом.