Упражнение 737 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 195

а) \(\frac{x}{x-3}-\frac{5}{x+3}=\frac{18}{x^2-9}\)

\(\frac{x}{x-3}-\frac{5}{x+3}=\frac{18}{(x-3)(x+3)}\) \(/\times (x - 3)(x + 3)\)

ОДЗ: \(x - 3 \ne 0\)  и  \(x + 3 \ne 0\)

         \(x \ne 3\)              \(x \ne -3\)

\[x(x+3)-5(x-3)=18\]

\[x^2+3x-5x+15-18=0\]

\[x^2-2x-3=0\]

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -3\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-3) =\)

\(=4 + 12 = 16 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{16}=4\)

\(x_1=\frac{2 + 4}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3\) - не подходит по ОДЗ.

\[x_2=\frac{2 - 4}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1\]

Ответ: \(x = -1\).

б) \(\frac{70}{x^2-16}-\frac{17}{x-4}=\frac{3x}{x+4}\)

\(\frac{70}{(x-4)(x+4)}-\frac{17}{x-4}=\frac{3x}{x+4}\) \(/\times (x - 4)(x + 4)\)

ОДЗ: \(x - 4 \ne 0\)  и  \(x + 4 \ne 0\)

         \(x \ne 4\)              \(x \ne -4\)

\[70-17(x+4)=3x(x-4)\]

\[70-17x-68=3x^2-12x\]

\[2-17x=3x^2-12x\]

\[2-17x-3x^2+12x = 0\]

\(-3x^2-5x+2=0\)  \(/\times (-1)\)

\[3x^2+5x-2=0\]

\(a = 3\),  \(b = 5\),  \(c = -2\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=5^2 - 4\cdot3\cdot(-2) = \)

\(=25 + 24 = 49 > 0 \) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{49}=7\)

\(x_1=\frac{-5 + 7}{2\cdot3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

\(x_2=\frac{-5 - 7}{2\cdot3}=\frac{-12}{6}=-2\)

Ответ: \(x = -2; \, x = \frac{1}{3}\).

в) \(\frac{3}{(2-x)^2}-\frac{5}{(x+2)^2}=\frac{14}{x^2-4}\)

\(\frac{3}{(x-2)^2}-\frac{5}{(x+2)^2}=\frac{14}{(x-2)(x+2)}\) \(/\times (x - 2)^2(x + 2)^2\)

ОДЗ: \(x - 2 \ne 0\)  и  \(x + 2 \ne 0\)

         \(x \ne 2\)              \(x \ne -2\)

\[3(x+2)^2-5(x-2)^2=14(x-2)(x+2)\]

\[3(x^2+4x+4)-5(x^2-4x+4)=14(x^2-4)\]

\[3x^2+12x+12-5x^2+20x-20=14x^2-56\]

\[-2x^2+32x-8=14x^2-56\]

\[-2x^2+32x-8-14x^2+56 = 0\]

\(-16x^2+32x+48=0\)  \(/ : (-16)\)

\[x^2-2x-3=0\]

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -3\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-3) = \)

\(=4 + 12 = 16 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{16}=4\)

\(x_1=\frac{2 + 4}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3\)

\(x_2=\frac{2 - 4}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1\)

Ответ: \(x = -1\);  \(x = 3\).

г) \(\frac{2}{4-x^2}-\frac{1}{2x-4}-\frac{7}{2x^2+4x}=0\)

\(\frac{2}{(2-x)(2+x)}+\frac{1}{2(2-x)}-\frac{7}{2x(2+x)}=0\) \(/\times 2x(2-x)(2+x)\)

ОДЗ:

\(x \ne 0\)  и  \(2 - x \ne 0\)  и  \(2 + x \ne 0\)

                 \(x \ne 2\)             \(x \ne -2\)

\[4x+x(2+x)-7(2-x)=0\]

\(4x + 2x + x^2 - 14 + 7x = 0\)

\[x^2+13x-14=0\]

\(a = 1\),  \(b = 13\),  \(c = -14\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=13^2 - 4\cdot1\cdot(-14) =\)

\(=169 + 56 = 225 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{225}=15\)

\(x_1=\frac{-13 + 15}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1\)

\(x_2=\frac{-13 - 15}{2\cdot1}=\frac{-28}{2}=-14\)

Ответ: \(x = -14\);  \(x = 1\).

д) \(\frac{1}{x^2-9}+\frac{1}{3x-x^2}=\frac{3}{2x+6}\)

\(\frac{1}{(x-3)(x+3)}-\frac{1}{x(x-3)}=\frac{3}{2(x+3)}\) \(/\times 2x(x-3)(x+3)\)

ОДЗ:

\(x \ne 0\)  и  \(x - 3 \ne 0\)  и  \(x + 3 \ne 0\)

                 \(x \ne 3\)             \(x \ne -3\)

\[2x-2(x+3)=3x(x-3)\]

\(2x - 2x - 6 = 3x^2 - 9x\)

\[-6=3x^2-9x\]

\(3x^2-9x+6=0\)   \(/ : 3\)

\[x^2-3x+2=0\]

\(a = 1\),  \(b = -3\),  \(c = 2\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-3)^2 - 4\cdot1\cdot2 =\)

\(=9 - 8 = 1 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{1}=1\)

\(x_1=\frac{3 + 1}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2\)

\(x_2=\frac{3 - 1}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1\)

Ответ: \(x = 1\);  \(x = 2\).

е) \(\frac{2}{1-x^2}-\frac{1}{1-x}+\frac{4}{(x+1)^2}=0\)

\(\frac{2}{(1-x)(1+x)}-\frac{1}{1-x}+\frac{4}{(1+x)^2}=0\) \(/\times (1-x)(1+x)^2\)

ОДЗ: \(1 - x \ne 0\)  и  \(1 + x \ne 0\)

          \(x \ne 1\)             \(x \ne -1\)

\[2(1+x)-(1+x)^2+4(1-x)=0\]

\[2x+2-(x^2+2x+1)+4-4x=0\]

\[2x+2-x^2-2x-1+4-4x=0\]

\(-x^2-4x+5=0\)  \(/\times (-1)\)

\[x^2+4x-5=0\]

\(a = 1\),  \(b = 4\),  \(c = -5\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = \)

\( = 16 + 20 = 36 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{36}=6\)

\(x_1=\frac{-4 + 6}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1\) - не подходит по ОДЗ.

\(x_2=\frac{-4 - 6}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5\)

Ответ: \(x = -5\).

ж) \(\frac{2}{x^2+5x}+\frac{3}{2x-10}=\frac{15}{x^2-25}\)

\(\frac{2}{x(x+5)}+\frac{3}{2(x-5)}=\frac{15}{(x-5)(x+5)}\) \(/\times 2x(x-5)(x+5)\)

ОДЗ:

\(x \ne 0\)  и  \(x - 5 \ne 0\)  и  \(x + 5 \ne 0\)

                 \(x \ne 5\)             \(x \ne -5\)

\[4(x-5)+3x(x+5)=30x\]

\[4x-20+3x^2+15x-30x=0\]

\[3x^2-11x-20=0\]

\(a = 3\),  \(b = -11\),  \(c = -20\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-11)^2 - 4\cdot3\cdot(-20) =\)

\(=121 + 240 = 361 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{361}=19\)

\(x_1=\frac{11 +19}{2\cdot3}=\frac{30}{6}=5\) - не подходит по ОДЗ.

\(x_2=\frac{11 -19}{2\cdot3}=\frac{-8}{6}=-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3}\)

Ответ: \(x = -1\frac{1}{3}\).

з) \(\frac{5}{2x+6}-\frac{1}{6x^2-18x}=\frac{29}{27-3x^2}\)

\(\frac{5}{2(x+3)}-\frac{1}{6x(x-3)}=\frac{29}{-3(x^2-9)}\)

\(\frac{5}{2(x+3)}-\frac{1}{6x(x-3)}=-\frac{29}{3(x-3)(x+3)}\) \(/\times 6x(x-3)(x+3)\)

ОДЗ:

\(x \ne 0\)  и  \(x - 3 \ne 0\)  и  \(x + 3 \ne 0\)

                 \(x \ne 3\)             \(x \ne -3\)

\[15x(x-3)-(x+3)=-58x\]

\[15x^2-45x-x-3+58x=0\]

\(15x^2+12x-3=0\)  \(/ : 3\)

\[5x^2+4x-1=0\]

\(a = 5\),  \(b = 4\),  \(c = -1\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=4^2 - 4\cdot5\cdot(-1) = \)

\(=16 + 20 = 36 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{36}=6\)

\(x_1=\frac{-4 +6}{2\cdot5}=\frac{2}{10}=0,2\)

\(x_2=\frac{-4 -6}{2\cdot5}=\frac{-10}{10}=-1\)

Ответ: \(x = -1\);  \(x = 0,2\).

и) \(\frac{x}{x-5}-\frac{4}{x+5}+\frac{76}{25-x^2}=0\)

\(\frac{x}{x-5}-\frac{4}{x+5}+\frac{76}{x^2 - 25}=0\)

\(\frac{x}{x-5}-\frac{4}{x+5}-\frac{76}{(x-5)(x+5)}=0\) \(/\times (x-5)(x+5)\)

ОДЗ: \(x - 5 \ne 0\)  и  \(x + 5 \ne 0\)

         \(x \ne 5\)              \(x \ne -5\)

\[x(x+5)-4(x-5)-76=0\]

\[x^2+5x-4x+20-76=0\]

\[x^2+x-56=0\]

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = -56\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=1^2 - 4\cdot1\cdot (-56) =\)

\(= 1 + 224 = 225 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{225}=15\)

\(x_1=\frac{-1 +15}{2\cdot1}=\frac{14}{2}=7\)

\(x_2=\frac{-1 -15}{2\cdot1}=\frac{-16}{2}=-8\)

Ответ: \(x = -8\);  \(x = 7\).

к) \(\frac{7x}{x^2-36}+\frac{3}{6-x}=\frac{7}{x+6}\)

\(\frac{7x}{(x-6)(x+6)}-\frac{3}{x-6}=\frac{7}{x+6}\) \(/\times (x-6)(x+6)\)

\[7x-3(x+6)=7(x-6)\]

\[7x-3x-18=7x-42\]

\[4x-18=7x-42\]

\[4x-7x=-42+18\]

\[-3x = -24\]

\(x = \frac{-24}{-3}\)

\[x=8\]

Ответ: \(x = 8\).

---

Пояснения:

Алгоритм решения дробного рационального уравнения:

1) Найти ОДЗ: приравнять знаменатели к нулю, найти значения переменной, при которых они обращаются в ноль, и исключить их из области допустимых значений.

2) Найти общий знаменатель: определить наименьший общий знаменатель для всех дробей, входящих в уравнение.

3) Избавиться от знаменателей: умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

4) Решить целое уравнение: раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и решить полученное уравнение (линейное или квадратное).

5) Проверить корни (ОДЗ): исключить из найденных корней те, которые не удовлетворяют условиям ОДЗ (обращают знаменатель в ноль).

Полное квадратное уравнение

\[ax^2+bx+c=0\]

решаем через дискриминант

\[D=b^2-4ac.\]

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня:

\[x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Линейное уравнение \(ax = b\) имеет корень \(x = \frac{b}{a}\).

Приемы использованные при выполнении преобразований:

- распределительное свойство:

\(k(a \pm b) = ka \pm kb\);

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\);

- квадрат суммы и квадрат разности двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\),

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).