Упражнение 729 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 195

а) \(x^2-10x+31=-5\)

\[x^2-10x+31+5=0\]

\[x^2-10x+36=0\]

\(a =1\),  \(b = -10\),  \(c = 36\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-10)^2-4\cdot 1\cdot 36=\)

\(=100-144=-44 < 0\) - нет корней.

Ответ: не существует.

б) \(x^2-10x+31=6\)

\(x^2-10x+31-6 = 0\)

\[x^2-10x+25=0\]

\(a = 1\),  \(b = -10\),  \(c = 25\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-10)^2-4\cdot 1\cdot 25=\)

\(=100-100=0\) - один действительный корень.

\[x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-10}{2\cdot1}=\frac{10}{2}=5\]

Ответ: существует при \(x = 5\).

в) \(x^2-10x+31=55\)

\(x^2-10x+31-55=0\)

\[x^2-10x-24=0\]

\(a = 1\),  \(b = -10\),  \(c = 25\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\[=(-10)^2-4\cdot 1\cdot (-24)=\]

\(=100+96=196 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),  \(\sqrt{196}=14\)

\[x_1=\frac{10 + 14}{2\cdot1}=\frac{24}{2}=12\]

\[x_2=\frac{10 - 14}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2\]

Ответ: существует при \(x = 12\) и \(x = -2\).

Пояснения:

Основные формулы:

\[ax^2+bx+c=0\]

\[D=b^2-4ac\]

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня:

\[x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Если \(D = 0\), то уравнение имеет один действительный корень:

\[x=-\frac{b}{2a}.\]

Если \(D < 0\) , то уравнение не имеет действительных корней.

Чтобы проверить, существует ли значение \(x\), при котором трёхчлен принимает заданное значение, приравниваем выражение к этому числу и переносим всё в одну сторону, получая квадратное уравнение.