Вернуться к содержанию учебника
Решите квадратное уравнение:
а) \(2{,}5x^2+4x=0;\)
б) \(6y^2-0{,}24=0;\)
в) \(0{,}2t^2-t-4{,}8=0;\)
г) \(3\dfrac{1}{3}u^2+3u-3=0.\)
Вспомните:
а) \(2{,}5x^2+4x=0\)
\[x(2{,}5x+4)=0\]
\(x=0\) или \(2{,}5x+4=0\)
\(2{,}5x=-4\)
\(x=-\frac{4}{2{,}5}\)
\(x=-\frac{40}{25}\)
\(x=-\frac{8}{5}\)
\(x=-1{,}6\)
Ответ: \(-1,6; \, 0.\)
б) \(6y^2-0{,}24=0\)
\[6y^2=0{,}24\]
\(y^2=\frac{0{,}24}{6}\)
\(y=0{,}04\)
\(y=\pm\sqrt{0{,}04}\)
\[y=\pm 0{,}2\]
Ответ: \(-0,2; \, 0,2.\)
в) \(0{,}2t^2-t-4{,}8=0\) \(/\times 5\)
\(t^2-5t-24=0\)
\(a = 1\), \(b = -5\), \(c = -24\)
\(D=b^2 - 4ac=\)
\(=(-5)^2-4\cdot 1\cdot (-24)=\)
\(=25 + 96 = 121 > 0\) - два действительных корня.
\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt {121} = 11\)
\(t_{1} = \frac{5 + 11}{2\cdot1} = \frac{16}{2} = 8\).
\(t_{2} = \frac{5 - 11}{2\cdot1} = \frac{-6}{2} = -3\).
Ответ: \(-3; \, 8.\)
г) \(3\dfrac{1}{3}u^2+3u-3=0\)
\(\frac{10}{3}u^2+3u-3=0\) \(/\times 3\)
\[10u^2+9u-9=0\]
\(a = 10\), \(b = 9\), \(c = -9\)
\(D=b^2 - 4ac=\)
\(=9^2-4\cdot 10\cdot (-9)=\)
\(=81+360=441 > 0\) - два действительных корня.
\(u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{441}=21\)
\(u_1=\frac{-9 + 21}{2\cdot10}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}= 0,6\),
\(u_2=\frac{-9 - 21}{2\cdot10}=-\frac{30}{20}=-\frac{3}{2}=-1,5\).
Ответ: \(-1,5; \, 0,6\)
Пояснения:
Неполные квадратные уравнения:
1) \(ax^2 + bx = 0\) решаем через разложение на множители (выносим \(x\) за скобки\) и учитываем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
\[ab=0 \Rightarrow a=0 \text{ или } b=0.\]
2) \(ax^2 + c = 0 \) решаем, выразив \(x^2\), а затем находим \(x\), извлекая квадратный корень из правой части уравнения, при этом получаем два противоположных корня.
Полное квадратное уравнение:
\[ax^2+bx+c=0\]
решаем через дискриминант
\[D=b^2-4ac.\]
Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:
\[x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}.\]
Вернуться к содержанию учебника