Упражнение 509 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть стороны прямоугольника равны \(x\) см и \(y\) см.

По теореме Пифагора:

\(x^2+y^2=15^2\).

Периметр исходного прямоугольника:

\(2(x+y)\)

Новые стороны:

\(x-6\) и \(y-8\).

Новый периметр:

\(2((x-6)+(y-8))=\)

\(=2(x+y-14)\)

По условию периметр уменьшился в 3 раза:

\(3\cdot2(x+y-14)=2(x+y)\)

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} 3\cdot2(x+y-14)=2(x+y),  /:2 \\ x^2+y^2=15^2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3(x+y-14)=x+y, \\ x^2+y^2=225 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3x+3y-42=x+y,\\ x^2+y^2=225 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3x-x=-3y+42+y,\\ x^2+y^2=225 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x=42-2y, / : 2 \\ x^2+y^2=225 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=21-y, \\ (21 - y)^2+y^2=225 \end{cases}\)

\((21 - y)^2+y^2=225\)

\(441 - 42y + y^2 + y^2 - 225 = 0\)

\(2y^2 - 42y + 216 = 0\) \(/ :2\)

\(y^2 - 21y + 108 = 0\)

\(D = (-21)^2 - 4\cdot108 =\)

\( = 441 - 432 = 9 > 0\) - два корня.

\(\sqrt 9 = 3\).

\(y_1 = \frac{21 + 3}{2\cdot1} =\frac{24}{2} = 12\).

\(y_2 = \frac{21 - 3}{2\cdot1} =\frac{18}{2} = 9\).

Если \(y = 12\), то

\(x = 21 - 12= 9\).

Если \(y = 9\), то

\(x = 21 - 9= 12\).

Ответ: стороны прямоугольника равны \(9\) см и \(12\) см.

Пояснения:

В задаче используются два основных свойства прямоугольника.

Первое — теорема Пифагора. Диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами \(x\) и \(y\), поэтому выполняется равенство:

\[x^2+y^2=d^2,\]

где \(d\) - диагональ прямоугольника.

Второе — формула периметра прямоугольника:

\[P=2(x+y).\]

После уменьшения сторон на 6 см и 8 см новый периметр выражается как \(2(x+y-14)\). Условие «периметр уменьшился в 3 раза» означает, что исходный периметр в три раза больше нового.

Из двух уравнений составляем систему уравнений, которую решаем методом подстановки. Из первого уравнения выражаем переменную \(x\), подставляем во второе уравнение и после преобразований получаем квадратное уравнение относительно \(y\).

Квадратное уравнение

\(ay^2 + by + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Для каждого значения \(y\) находим соответствующее значение \(x\). Получаем, что стороны прямоугольника равны \(9\) см и \(12\) см.

а) \(\begin{cases}x^2-3xy+14=0,  /\times2 \\ 3x^2+2xy-24=0   /\times3\end{cases}\)

\(\begin{cases}2x^2-6xy+28=0, \\ 9x^2+6xy-72=0 \end{cases}\)   \((+)\)

\(11x^2 - 44 = 0\)

\(11x^2 = 44\)

\(x^2 = \frac{44}{11}\)

\(x^2 = 4\)

\(x = \pm\sqrt4\)

\(x=2\) или \(x=-2\)

Если \(x=2\),то

\(2^2-3\cdot2y+14=0\)

\(4 - 6y + 14 = 0\)

\(-6y + 18 = 0\)

\(6y = 18\)

\(y = \frac{18}{6}\)

\(y = 3\).

Если \(x=-2\), то

\((-2)^2-3\cdot(-2)y+14=0\)

\(4 + 6y + 14 = 0\)

\(6y + 18 = 0\)

\(6y = -18\)

\(y = \frac{-18}{6}\)

\(y = -3\).

Ответ: \((2;3),\;(-2;-3)\).

б) \(\begin{cases}2x^2-6y=xy,  /\times(-0,5)\\ 3x^2-8y=0{,}5xy\end{cases}\)

\(\begin{cases}-x^2+3y=-0,5xy, \\ 3x^2-8y=0{,}5xy\end{cases}\)   \((+)\)

\(2x^2 - 5y = 0\)

\(5y = 2x^2\)   \(/ : 5\)

\(y = 0,4x^2\)

\(\begin{cases} y = 0,4x^2, \\ 3x^2-8y=0{,}5xy\end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 0,4x^2, \\ 3x^2-8\cdot 0,4x^2=0{,}5x\cdot 0,4x^2\end{cases}\)

\(3x^2-8\cdot 0,4x^2=0{,}5x\cdot 0,4x^2\)

\(3x^2 - 3,2x^2 = 0,2x^3\)

\(-0,2x^2 = 0,2x^3\)

\(0,2x^3 + 0,2x^2 = 0\)

\(0,2x^2(x + 1) = 0\)

\(x^2 = 0\)  или  \(x + 1 = 0\)

\(x = 0\)            \(x = -1\)

Если \(x = 0\), то

\(y = 0,4\cdot0^2 = 0\).

Если \(x = -1\), то

\(y = 0,4\cdot(-1)^2 = 0,4\cdot1 = 0,4\).

Ответ: \((0;0),\;(-1;0,4)\).

Пояснения:

Если в уравнениях встречается произведение \(xy\), удобно использовать способ сложения при решении систем уравнений, это позволяет выразить одну переменную через другую, а затем воспользоваться способом подстановки при решении систем уравнений.