Площадь треугольника

Одну из сторон треугольника часто называют основанием. Если основание выбрано, то под словом "высота" подразумевают высоту треугольника, проведенную к основанию.

Теорема

Доказательство

Дано: АВС, СН - высота, S - площадь АВС

Доказать: S =  АВ СН

Доказательство:

Достроим данный треугольник до параллелограмма ABCD так, как показано на рисунке. АВС = DCB (по трем сторонам (ВС - общая, AB = CD и  АС = BD как противоположные стороны параллелограмма ABCD)), а у равных многоугольников равные площади, значит площади данных треугольников равны. Следовательно, площадь S - площадь АВС равна половине площади параллелограмма ABCD, т.е. S =  АВ СН. Теорема доказана.

Следствие 1

Следствие 2

Теорема

Доказательство

Дано: АВС, СН - высота, S - площадь АВС, А₁В₁С₁, В₁Н₁ - высота, S₁ - площадь А₁В₁С₁, А = А₁

Доказать:   

Доказательство:

Наложим треугольник А₁В₁С₁ на треугольник АВС так, чтобы вершина А₁ совместилась с вершиной А, а стороны А₁В₁ и А₁С₁ наложились соответственно на лучи АВ и АС.

Треугольники АВС и АВ₁С имеют общую высоту СН, поэтому

Треугольники АВ₁С и АВ₁С₁ также имеют общую высоту - В₁Н₁, поэтому

Перемножая полученные равенства, находим:

или 

Теорема доказана.