Площадь треугольника

Одну из сторон треугольника часто называют основанием. Если основание выбрано, то под словом "высота" подразумевают высоту треугольника, проведенную к основанию.

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту

Доказательство

Дано: АВС, СН - высота, S - площадь АВС

Доказать: S =  АВ СН

Доказательство:

Достроим данный треугольник до параллелограмма ABCD так, как показано на рисунке. АВС = DCB (по трем сторонам (ВС - общая, AB = CD и  АС = BD как противоположные стороны параллелограмма ABCD)), а у равных многоугольников равные площади, значит площади данных треугольников равны. Следовательно, площадь S - площадь АВС равна половине площади параллелограмма ABCD, т.е. S =  АВ СН. Теорема доказана.

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

Следствие 2

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания

Теорема

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы

Доказательство

Дано: АВС, СН - высота, S - площадь АВС, А1В1С1, В1Н1 - высота, S1 - площадь А1В1С1, А = А1

Доказать:   

Доказательство:

 

Наложим треугольник А1В1С1 на треугольник АВС так, чтобы вершина А1 совместилась с вершиной А, а стороны А1В1 и А1С1 наложились соответственно на лучи АВ и АС.

Треугольники АВС и АВ1С имеют общую высоту СН, поэтому

Треугольники АВ1С и АВ1С1 также имеют общую высоту - В1Н1, поэтому

Перемножая полученные равенства, находим:

или 

Теорема доказана.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Понятие площади многоугольника

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

Площадь параллелограмма

Площадь трапеции

Теорема Пифагора

Теорема, обратная теореме Пифагора

Формула Герона

Площадь

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 489, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 505, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 515, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 622, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 846, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 8, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 9, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1206, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1208, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1309, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник