Числовые неравенства

Любые числа \(a\) и \(b\) можно сравнить и результат сравнения записать в виде равенства или неравенства, используя при этом знаки \(=\), \(<\), \(>\). Для произвольных чисел \(a\) и \(b\) выполняется только одно из соотношений \(a = b\), \(a < b\) или \(a > b\).

При сравнении любых чисел можно использовать следующий способ: составляют разность чисел и выясняют, является ли эта разность положительным числом, отрицательным числом или равна нулю. Такой способ сравнения чисел основан на следующем определении:

Определение. Число \(а\) больше числа \(b\), если разность \(a - b\) - положительное число; число \(a\) меньше числа \(b\), если разность \(a - b\) - отрицательное число. Если разность \(a - b\) равна нулю,то числа \(a\) и \(b\) равны.

На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее - точкой, лежащей левее.

На рисунке число \(a\) расположено на координатной прямой левее, чем число \(b\), значит, \(a\).

Доказательство неравенств

Пример 1

Докажите, что при любых значениях переменной \(x\) верно неравенство

\((5x-1)(5x+1) < 25x^2 + 2\).

Доказательство:

Составим разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

\( (5x-1)(5x+1) - (25x^2+2) =\)

\(=\cancel{25x^2}-1 - \cancel{25x^2-2} =\)

\(=-3 < 0\)

При любом \(x\) рассматриваемая разность отрицательна и, верно неравенство

\((5x-1)(5x+1) < 25x^2 + 2\).

Что и требовалось доказать.

Пример 2

Пусть \(a\) и \(b\) - положительные числа.

Среднее арифметическое чисел \(a\) и \(b\): \(\frac{a+b}{2}\).

Среднее геометрическое чисел \(a\) и \(b\): \(\sqrt{ab}\).

Среднее гармоническое чисел \(a\) и \(b\): \(\frac{2}{\frac1a + \frac1b}\).

Докажем, что среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое положительных чисел \(a\) и \(b\) связаны соотношениями:

\(\frac{2}{\frac1a + \frac1b} \le \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}\).

Доказательство:

1. Докажем, что \(\sqrt{ab} \ge \frac{2}{\frac1a + \frac1b}\).

Составим разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

\(\sqrt{ab} -\frac{2}{\frac1a ^{\color{blue}{\backslash b}} + \frac1b ^{\color{blue}{\backslash a}} } =\)

\(=\sqrt{ab} - \frac{2}{\frac{a+b}{ab}} =\sqrt{ab} ^{\color{blue}{\backslash a+b}} - \frac{2ab}{a+b}=\)

\(=\frac{a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab}-2ab}{a+b}=\)

\(=\frac{\sqrt{ab}(a+b-2\sqrt{ab})}{a+b}=\)

\(=\frac{\sqrt{ab}(\sqrt a-\sqrt b)^2}{a+b} \ge 0\) при любых положительных \(a\) и \(b\), значит \(\sqrt{ab} \ge \frac{2}{\frac1a + \frac1b}\).

2. Докажем, что \(\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}\).

Составим разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

\(\sqrt{ab} ^{\color{blue}{\backslash2}} - \frac{a+b}{2} =\frac{2\sqrt{ab}-a-b}{2}=\)

\(=\frac{-(a-2\sqrt{ab}+b)}{2}=\)

\(=-\frac{(\sqrt{a}-\sqrt b)^2}{2} \le 0\) при любых положительных \(a\) и \(b\), значит \(\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}\).

Следовательно, при любых положительных \(a\) и \(b\) верно:

\(\frac{2}{\frac1a + \frac1b} \le \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}\).

Что т требовалось доказать.