Упражнение 328 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 105

\( \frac{1}{x+2} ^{\color{blue}{\backslash x + 4}} - \frac{1}{x+4} ^{\color{blue}{\backslash x+2}} = \frac{1}{x+8} ^{\color{blue}{\backslash x + 20}} - \frac{1}{x+20} ^{\color{blue}{\backslash x+ 8}} \)

ОДЗ:

\(x + 2 \ne 0, \Rightarrow x\neq -2;\)

\(x + 4 \ne 0, \Rightarrow x\neq -4;\)

\(x + 8 \ne 0, \Rightarrow x\neq -8;\)

\(x + 20 \ne 0, \Rightarrow x\neq -20.\)

\( \frac{x+4 - (x+2)}{(x+2)(x+4)} =\frac{x+20 - (x+8)}{(x+8)(x+20)} \)

\( \frac{\cancel x+4 - \cancel x - 2}{(x+2)(x+4)} =\frac{\cancel x+20 - \cancel x - 8}{(x+8)(x+20)} \)

\(\frac{2}{(x+2)(x+4)} = \frac{12}{(x+8)(x+20)}\)

\(2(x+8)(x+20) = 12(x+2)(x+4)\) \(/ :2\)

\((x+8)(x+20) = 6(x+2)(x+4)\)

\(x^2 + 20x + 8x + 160 = 6(x^2 + 4x + 2x + 8)\)

\(x^2 + 28x +160 = 6(x^2 +6x + 8)\)

\(x^2 + 28x + 160 = 6x^2 + 36x + 48\)

\(x^2 + 28x + 160 - 6x^2 - 36x - 48=0\)

\(-5x^2 - 8x + 112 = 0\)  \(/\times(-1)\)

\(5x^2 + 8x - 112 = 0\)

\( D = 8^2 - 4\cdot 5 \cdot (-112) =\)

\(= 64 + 2240 = 2304 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{2304} = 48\).

\( x_{1} = \frac{-8 + 48}{2\cdot5} = \frac{40}{10} = 4.\)

\( x_2 =\frac{-8 - 48}{2\cdot5} = \frac{-56}{10} = -5,6. \)

Ответ: \( x = 4,\quad x = -5,6. \)

Пояснения:

При решении уравнений с дробями сначала указываем область допустимых значений (значения, при которых знаменатели не равны нулю).

Уравнения имеют вид разности двух дробей, равной разности двух других дробей. Удобно сначала привести каждую сторону к общему знаменателю. В результате каждая сторона превращается в одну дробь, у которой числитель не содержит переменных, то есть получается пропорция. Далее используем основное свойство пропорции, согласно которому произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. Выполнив преобразования получаем квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Найденные корни проверяются на принадлежность ОДЗ, если корни совпадают с ОДЗ, их в ответ не записываем.