Упражнение 220 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[ y = x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 \]

С осью \(y\):  \(x = 0\).

\( y = 0^{3} - 6\cdot 0^{2} + 11\cdot 0 - 6 = -6. \)

\((0;\,-6)\) - точка пересечения с осью \(y\).

С осью \(x\):  \(y = 0\)

\( x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0 \)

\(x = 1\) - корень уравнения, так как

\( 1^3 - 6\cdot1^2 + 11\cdot1 - 6 = 0 \)

\(x^{2} - 5x + 6 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \(c = 6\)

\( D = b^2 - 4ac =(-5)^2 -4\cdot1\cdot6 =\)

\(=25 - 24 = 1 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{D}=1. \)

\( x_1 = \frac{5 + 1}{2\cdot 1} = \frac62 = 3\).

\( x_2 = \frac{5 - 1}{2\cdot 1} = \frac42 = 2\).

\((1;\,0),\) \((2;\,0),\) и \( (3;\,0)\) - точки пересечения с осью \(x\).

Ответ: график пересекает оси координат в точках \( (0;\,-6),\) \((1;\,0),\) \( (2;\,0),\) \( (3;\,0). \)

Пояснения:

1. Для нахождения точки пересечения с осью \(Oy\) всегда подставляют \(x = 0\), потому что любая точка этой оси имеет вид \((0, y)\).

2. Для пересечения с осью \(Ox\) подставляют \(y = 0\), так как точки оси \(Ox\) имеют вид \((x, 0)\). Это всегда приводит к решению уравнения, полученного от правой части функции.

3. Кубический многочлен удобно решать через поиск целых корней среди делителей свободного члена (здесь делители числа 6). Один найденный корень позволяет разложить многочлен на множители путем деления многочленов "уголком" (так как целый корень уравнения равен \(1\) делим многочлен \(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6\) на многочлен \(x - 1\)) и свести задачу к квадратному уравнению, которое решается через дискриминант.

а) \(2x^2 - 3x + 7 =\)

\(=2\left(x^2 - \tfrac{3}{2}x + \tfrac{7}{2}\right)=\)

\(=2\left(\left(x^2 - 2\cdot\tfrac{3}{4}x+\left(\tfrac34\right)^2\right) -\left(\tfrac34\right)^2+ \tfrac{7}{2}\right)=\)

\(=2\left(\left(x - \tfrac34\right)^2 -\tfrac{9}{16}+ \tfrac{7}{2}\right)=\)

\(=2\left(x - \tfrac34\right)^2 -\tfrac{9}{8}+ 7=\)

\(=2\left(x - \tfrac34\right)^2 -1\tfrac{1}{8}+ 7=\)

\(=2\left(x - \tfrac34\right)^2 +5\tfrac{7}{8}\).

б) \(-3x^2 + 4x - 1 =\)

\(=-3\left(x^2 - \tfrac{4}{3}x + \tfrac13\right)=\)

\(=-3\left(\left(x^2 - 2\cdot\tfrac{4}{6}x +\left(\tfrac46\right)^2\right)-\left(\tfrac46\right)^2 + \tfrac13\right)=\)

\(=-3\left(\left(x - \tfrac46\right)^2-\tfrac{16}{36} + \tfrac13\right)=\)

\(=-3\left(x - \tfrac23\right)^2+\tfrac{16}{12} -1=\)

\(=-3\left(x - \tfrac23\right)^2+\tfrac{4}{3} -1=\)

\(=-3\left(x - \tfrac23\right)^2+1\tfrac{1}{3} -1=\)

\(=-3\left(x - \tfrac23\right)^2+\tfrac{1}{3}.\)

в) \(5x^2 - 3x =\)

\(=5\left(x^2 - \tfrac{3}{5}x\right)=\)

\(=5\left(\left(x^2 - 2\cdot\tfrac{3}{10}x+\left(\tfrac{3}{10}\right)^2\right)-\left(\tfrac{3}{10}\right)^2\right)=\)

\(=5\left(\left(x - \tfrac{3}{10}\right)^2-\tfrac{9}{100}\right)=\)

\(=5\left(x - \tfrac{3}{10}\right)^2-\tfrac{45}{100}=\)

\(=5\left(x - 0,3\right)^2-0,45.\)

г) \(-4x^2 + 8x = -4(x^2 - 2x)=\)

\(=-4((x^2 - 2x+1^2)-1^2)=\)

\(=-4((x-1)^2-1)=\)

\(=-4(x-1)^2+4\)

Пояснения:

Чтобы выделить полный квадрат, вынесли коэффициент при \(x^2\) за скобку, затем добавили и вычли недостающий член для квадрата двучлена, использовали одну из формул:

- квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

- квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).