Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№219 учебника 2023-2026 (стр. 77):
Решите уравнение:
а) \(x^{3} + 7x^{2} - 6 = 0;\)
б) \(x^{3} + 4x^{2} - 5 = 0.\)
№219 учебника 2014-2022 (стр. 70):
Пусть \(\alpha\) и \(\beta\) — корни трёхчлена \[x^2 + px + q,\] причём \(\alpha \beta = 4\) и \(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} = 3\). Чему равно \(\alpha\) и чему равно \(\beta\)?
№219 учебника 2023-2026 (стр. 77):
Вспомните:
№219 учебника 2014-2022 (стр. 70):
Вспомните:
№219 учебника 2023-2026 (стр. 77):
а) \(x^{3} + 7x^{2} - 6 = 0\)
\(x^{3} + x^{2} + 6x^{2} - 6 = 0\)
\(x^{2}(x + 1) + 6(x^{2} - 1) = 0\)
\(x^{2}(x + 1) + 6 (x - 1)(x+ 1) =0\)
\((x+1)(x^2 +6(x-1))=0\)
\((x+1)(x^2 +6x-6)=0\)
или \(x + 1 = 0\)
\(x = -1\)
или \(x^2 +6x-6=0\)
\(a = 1\), \(b =6\), \(c = -6\)
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(=6^2 - 4\cdot1\cdot(-6)=\)
\(=36 + 24 = 60 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(\sqrt D = \sqrt{60}=\sqrt {4\cdot15} = 2\sqrt{15}.\)
\(x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}=\)
\(= \frac{-6 \pm 2\sqrt {15}}{2\cdot1}=\frac{\cancel2(-3 \pm \sqrt {15})}{\cancel2}=\)
\(=-3 \pm \sqrt {15}\).
Ответ: \(x = -1\), \(x=-3 + \sqrt {15}\),
\(x=-3 - \sqrt {15}\).
б) \(x^{3} + 4x^{2} - 5 = 0\)
\(x^{3} - x^{2}+ 5x^{2} - 5 = 0\)
\(x^{2}(x - 1)+ 5(x^{2} - 1) = 0\)
\(x^{2}(x - 1)+ 5(x - 1)(x+1) = 0\)
\((x - 1)(x^{2}+ 5(x+1)) = 0\)
\((x - 1)(x^{2}+ 5x+5) = 0\)
или \(x - 1 = 0\)
\(x = 1,\)
или \(x^{2}+ 5x+5 = 0\)
\(a = 1\), \(b =5\), \(c = 5\)
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(=5^2 - 4\cdot1\cdot5=\)
\(=25 - 20 = 5 > 0 \) - уравнение имеет 2 корня.
\(\sqrt D = \sqrt{5}.\)
\(x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}=\)
\(= \frac{-5 \pm \sqrt 5}{2\cdot1}=\frac{-5 \pm \sqrt 5}{2}.\)
Ответ: \(x = 1,\; x = \dfrac{-5 + \sqrt{5}}{2},\)
\(x = \dfrac{-5 - \sqrt{5}}{2}.\)
Пояснения:
В этих уравнениях основная идея — свести выражение к произведению множителей. Для этого одночлен, содержащий \(x^2\) представляем в виде суммы двух слагаемых, так, чтобы можно было сгруппировать компоненты уравнения парами. В каждой паре выносится общий множитель, после чего появляется общий множитель для всего выражения. Также при разложении на множители применяется формула разности квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).
Затем учитываем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
№219 учебника 2014-2022 (стр. 70):
\[x^2 + px + q\]
\(x_1 = \alpha\), \(x_2 = \beta\),
\(\alpha \beta= 4\), \(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} = 3 \)
По теореме Виета:
\(\alpha\beta = q = 4\), \(\alpha+\beta = -p\).
1) \(\alpha+\beta = -p\)
\((\sqrt \alpha)^2+(\sqrt\beta)^2 = -p\)
\((\sqrt \alpha)^2+2\sqrt{\alpha\beta}+(\sqrt\beta)^2 - 2\sqrt{\alpha \beta}= -p\)
\((\sqrt \alpha+\sqrt \beta)^2 - 2\sqrt{\alpha \beta}= -p\)
\(3^2 -2\cdot\sqrt4 = -p\)
\(9 - 2\cdot2 = -p\)
\(9 - 4 = -p\)
\(-p = 5\)
2) По теореме Виета:
\(\alpha \beta= 4\), \(\alpha+\beta = 5\).
\(\alpha = 4\), \(\beta = 1\) или \(\alpha = 1\), \(\beta = 4\)
Ответ: \(\alpha = 4\), \(\beta = 1\) или
\(\alpha= 1\), \(\beta = 4\).
Пояснения:
По теореме Виета для квадратного трехчлена \(x^2 + bx + c = 0\) имеем:
\(x_1 + x_2 = -b\), \(x_1\cdot x_2 = c\).
Учитывая то, что \(\alpha\) и \(\beta\) корни уравнения \(x^2 + px + q\), то по теореме Виета:
\(\alpha \beta = q\), \(\alpha +\beta = -p\).
Выражение \(\alpha+\beta = -p\) преобразовали в выражение
\((\sqrt \alpha+\sqrt \beta)^2 - 2\sqrt{\alpha \beta}= -p\) и, учитывая то, что по условию \(\alpha \beta = 4\), \(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} = 3 \), получили: \(-p = 5\). Тогда по теореме Виета для квадратного трехчлена \(x^2 + px + q\) имеем:
\(\alpha \beta = 4\), \(\alpha+\beta= 5\).
Откуда, подбором находим:
\(\alpha= 4\), \(\beta = 1\) или \(\alpha = 1\), \(\beta = 4\)
Вернуться к содержанию учебника