Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№216 учебника 2023-2026 (стр. 77):
Первое число на 5 больше второго, а его куб на 3185 больше куба второго. Найдите эти числа.
№216 учебника 2014-2022 (стр. 70):
При каком значении \(p\) выражение \[2px^2 - 2x - 2p - 3\] становится квадратным трёхчленом, одним из корней которого является число нуль? Найдите другой корень.
№216 учебника 2023-2026 (стр. 77):
Вспомните:
№216 учебника 2014-2022 (стр. 70):
Вспомните:
№216 учебника 2023-2026 (стр. 77):
Пусть второе число равно \(x\). Тогда первое число равно \(x + 5\). Известно, что куб первого числа на 3185 больше куба второго.
Составим уравнение:
\((x + 5)^{3} - x^{3} = 3185.\)
\(\cancel{x^{3}} + 15x^{2} + 75x + 125 -\cancel{x^{3}} = 3185.\)
\(15x^{2} + 75x + 125 = 3185.\)
\(15x^{2} + 75x + 125 - 3185 = 0.\)
\(15x^{2} + 75x - 3060 = 0\) \(/ : 15\)
\(x^{2} + 5x - 204 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 5\), \(c = -204\)
\(D = b^2 - 4 ac= \)
\(=5^{2} - 4 \cdot1 \cdot (-204) =\)
\(=25 + 816 = 841.\)
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{D} = 29.\)
\(x_1 = \dfrac{-5 + 29}{2\cdot1}=\dfrac{24}{2} = 12.\)
\(x_2 = \dfrac{-5 - 29}{2\cdot1}=\dfrac{-34}{2} = -17.\)
1) Если \(12\) - второе число, то
\(12 + 5= 17\) - первое число.
2) Если \(-17\) - второе число, то
\(-17 + 5= -12\) - первое число.
Ответ: числа \(12\) и \( 17\) или \(-17\) и \( -12\).
Пояснения:
Решаем задачу с помощью уравнения. Второе число обозначаем \(x\), а первое - \(x + 5\). Согласно условию, куб первого числа на 3185 больше куба второго, составляем уравнение:
\[(x+5)^3 - x^3 = 3185.\]
По формуле куба суммы:
\((a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}.\)
В задаче: \(a = x\), \(b = 5\). Поэтому:
\((x + 5)^{3} = x^{3} + 15x^{2} + 75x + 125.\)
После раскрытия куба суммы выражение упрощается, и кубы сокращаются:
\(15x^{2} + 75x + 125 = 3185.\)
Полученное квадратное уравнение упрощается и решается по формуле корней квадратного уравнения. Оба корня подходят, т.к. числа могут быть как положительными, так и отрицательными.
№216 учебника 2014-2022 (стр. 70):
\( 2px^2 - 2x - 2p - 3 = 0\)
\(x_1 = 0\)
\( 2p \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 - 2p - 3 =0\)
\(-2p - 3 = 0\)
\( -2p = 3 \)
\(p = -\frac{3}{2}\)
\(p = -1,5\)
\(2\cdot(-1,5)x^2 - 2x - 2\cdot(-1,5) - 3 = 0\)
\(-3x^2 - 2x -3 + 3 = 0\)
\( -3x^2 - 2x = 0\)
\(-x(3x+2) = 0\)
\(x_1 = 0\) или \(3x_2 + 2 = 0\)
\(3x_2 = -2\)
\(x_2 = -\frac{2}{3}.\)
Ответ: \(p = -1,5\), \(x_2 = -\frac{2}{3}.\)
Пояснения:
Чтобы нуль был корнем, подставили \(x_1=0\) в уравнение и нашли значение \(p\). Затем подставили найденное значение \(p\) в уравнение, упростили и разложили на множители, получив второй корень.
Вернуться к содержанию учебника