Вернуться к содержанию учебника
Решите уравнение, используя введение новой переменной:
а) \((2x^{2} + 3)^{2} - 12(2x^{2} + 3) + 11 = 0;\)
б) \((t^{2} - 2t)^{2} - 3 = 2(t^{2} - 2t);\)
в) \((x^{2} + x - 1)(x^{2} + x + 2) = 40;\)
г) \((2x^{2} + x - 1)(2x^{2} + x - 4) + 2 = 0.\)
Вспомните:
а) \((2x^{2} + 3)^{2} - 12(2x^{2} + 3) + 11 = 0\)
Пусть \(2x^{2} + 3 = y\).
\(y^{2} - 12y + 11 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -12\), \(c = 11\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\(=(-12)^{2} - 4\cdot 1 \cdot 11 =\)
\(=144 - 44 = 100 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a},\) \(\sqrt D = 10\).
\(y_{1} = \dfrac{12 + 10}{2\cdot1} =\dfrac{22}{2} = 11.\)
\(y_{2} = \dfrac{12 - 10}{2\cdot1} =\dfrac{2}{2} = 1.\)
1) Если \(y = 11\), то
\(2x^{2} + 3 = 11\)
\(2x^{2} = 11 - 3\)
\(2x^{2} = 8\)
\(x^{2} = \dfrac82\)
\(x^{2} = 4\)
\(x = \pm\sqrt 4\)
\(x = \pm2\)
2) Если \(y = 1\), то
\(2x^{2} + 3 = 1\)
\(2x^{2} = 1 - 3\)
\(2x^{2} = -2\)
\(x^{2} = \dfrac{-2}{2}\)
\(x^{2} = -1\) - корней нет.
Ответ: \(x = -2,\; x = 2.\)
б) \((t^{2} - 2t)^{2} - 3 = 2(t^{2} - 2t);\)
Пусть \(t^{2} - 2t = x\)
\(x^{2} - 3 = 2x\)
\(x^{2} - 2x - 3 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\(= (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) =\)
\(=4 + 12 = 16 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a},\) \(\sqrt D = 4\).
\(x_{1} = \dfrac{2 + 4}{2\cdot1} =\dfrac{6}{2}=3.\)
\(x_{2} = \dfrac{2 - 4}{2\cdot1} =\dfrac{-2}{2}=-1.\)
1) Если \(x = 3\), то
\(t^{2} - 2t = 3\)
\(t^{2} - 2t - 3 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\(= (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) =\)
\(=4 + 12 = 16 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(t_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a},\) \(\sqrt D = 4\).
\(t_{1} = \dfrac{2 + 4}{2\cdot1} =\dfrac{6}{2}=3.\)
\(t_{2} = \dfrac{2 - 4}{2\cdot1} =\dfrac{-2}{2}=-1.\)
2) Если \(x = -1\), то
\(t^{2} - 2t = -1 \)
\(t^{2} - 2t + 1 = 0 \)
\((t - 1)^{2} = 0\)
\(t - 1 = 0\)
\(t = 1\)
Ответ: \(t = -1,\; t = 1,\; t = 3.\)
в) \((x^{2} + x - 1)(x^{2} + x + 2) = 40\)
Пусть \(x^{2} + x = y.\)
\((y - 1)(y + 2) = 40\)
\(y^2 + 2y - y - 2 - 40 = 0\)
\(y^{2} + y - 42 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -42\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\(= 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = \)
\(=1 + 168 = 169 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a},\) \(\sqrt D = 13\).
\(y_{1} = \dfrac{-1 + 13}{2\cdot1} = \dfrac{12}{2} = 6.\)
\(y_{2} = \dfrac{-1 - 13}{2\cdot1} = \dfrac{-14}{2} = -7.\)
1) Если \(y = 6\), то
\(x^{2} + x = 6 \)
\(x^{2} + x - 6 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -6\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\(= 1^{2} - 4\cdot 1 \cdot (-6) =\)
\(=1 + 24 = 25 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a},\) \(\sqrt D = 5\).
\(x_{1} = \dfrac{-1 + 5}{2\cdot1} =\dfrac42 = 2.\)
\(x_{2} = \dfrac{-1 - 5}{2\cdot1} =\dfrac{-6}{2} = -3.\)
2. Если \(y = -7\), то
\(x^{2} + x = -7 \)
\(x^{2} + x + 7 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 7\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\( = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7 = \)
\(=1 - 28 = -27 < 0\) — действительных корней нет.
Ответ: \(x = -3,\; x = 2.\)
г) \((2x^{2} + x - 1)(2x^{2} + x - 4) + 2 = 0\)
Пусть \(2x^{2} + x = y\)
\((y - 1)(y - 4) + 2 = 0\)
\(y^2 - 4y -y + 4 + 2 = 0\)
\(y^{2} - 5y + 6 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\(= (-5)^{2} - 4\cdot 1 \cdot 6 = \)
\(=25 - 24 = 1 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a},\) \(\sqrt D = 1\).
\(y_{1} = \dfrac{5 + 1}{2\cdot1} =\dfrac{6}{2} = 3.\)
\(y_{2} = \dfrac{5 - 1}{2\cdot1} =\dfrac{4}{2} = 2.\)
1) Если \(y = 3\), то
\(2x^{2} + x = 3\)
\(2x^{2} + x - 3 = 0\)
\(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -3\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\( = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-3) =\)
\(=1 + 24 = 25 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a},\) \(\sqrt D = 5\).
\(x_{1} = \dfrac{-1 + 5}{2\cdot2} =\dfrac{4}{4} = 1.\)
\(x_{2} = \dfrac{-1 - 5}{2\cdot2} =\dfrac{-6}{4} =-\dfrac{3}{2}= -1,5.\)
2) Если \(y = 2\), то
\(2x^{2} + x = 2 \)
\(2x^{2} + x - 2 = 0\)
\(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -2\)
\(D =b^2 - 4ac =\)
\(=1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-2) =\)
\(=1 + 16 = 17 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a},\) \(\sqrt D = \sqrt17\).
\(x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}\)
Ответ: \(x = 1,\; x = -\dfrac{3}{2},\; x = \dfrac{-1 + \sqrt{17}}{4},\)
\(x = \dfrac{-1 - \sqrt{17}}{4}.\)
Пояснения:
Общий приём подстановки.
Если уравнение имеет вид, например, \((A)^{2} - 12A + 11 = 0\), вводят новую переменную \[ y = A, \] тогда уравнение принимает вид \[ y^{2} - 12y + 11 = 0, \] которое легко решается по формуле корней квадратного уравнения.
Формула корней квадратного уравнения.
Для уравнения \(\;az^{2} + bz + c = 0\;\) используется формула:
\( D = b^{2} - 4ac,\)
\(z_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \)
Пояснение к пункту а).
Выражение \(2x^{2} + 3\) встречается и в квадрате, и в первой степени, поэтому его заменяют на \(y\). Получается обычное квадратное уравнение по \(y\). После нахождения \(y\) возвращаются к равенствам \(2x^{2} + 3 = y\) и решают их как квадратные уравнения по \(x\). Одно из них не даёт действительных корней (получается \(x^{2} = -1\)).
Пояснение к пункту б).
Аналогично, заменяют повторяющееся выражение \(t^{2} - 2t\) на \(x\). Получают квадратное уравнение по \(x\), а затем решают два квадратных уравнения по \(t\): \(t^{2} - 2t = 3\) и \(t^{2} - 2t = -1\). В одном случае два корня, в другом — кратный корень \(t = 1\).
Пояснение к пункту в).
Удобно ввести замену \(y = x^{2} + x\). После раскрытия скобок получается квадратное уравнение по \(y\). Дальше решают уравнения \(x^{2} + x = 6\) и \(x^{2} + x = -7\). Второе не имеет действительных решений, так как дискриминант отрицателен.
Пояснение к пункту г).
Удобно ввести замену \(y = 2x^{2} + x\). После раскрытия скобок получается квадратное уравнение по \(y\). Далее решают два квадратных уравнения по \(x\): \(2x^{2} + x - 3 = 0\) и \(2x^{2} + x - 2 = 0\), каждое по стандартной формуле, получая все четыре корня.
Во всех случаях метод введения новой переменной позволяет заменить громоздкое выражение на одну букву и тем самым свести задачу к уже знакомым квадратным уравнениям.
Вернуться к содержанию учебника