Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№218 учебника 2023-2026 (стр. 77):
Решите уравнение:
а) \(3x^{3} - x^{2} + 18x - 6 = 0;\)
б) \(2x^{4} - 18x^{2} = 5x^{3} - 45x.\)
№218 учебника 2014-2022 (стр. 70):
Найдите трёхчлен вида \[x^2 + px + q,\] корнями которого являются не равные нулю числа \(p\) и \(q\).
№218 учебника 2023-2026 (стр. 77):
Вспомните:
№218 учебника 2014-2022 (стр. 70):
№218 учебника 2023-2026 (стр. 77):
а) \(3x^{3} - x^{2} + 18x - 6 = 0\)
\(x^{2}(3x - 1) + 6(3x - 1) = 0\)
\((3x - 1)(x^{2} + 6) = 0\)
или \(3x - 1 = 0 \)
\(3x = 1 \)
\(x = \frac{1}{3}\)
или \(x^{2} + 6 = 0 \)
\(x^{2} = -6\) — корней нет.
Ответ: \(x = \frac{1}{3}\).
б) \(2x^{4} - 18x^{2} = 5x^{3} - 45x\)
\(2x^{4} - 18x^{2} - 5x^{3} + 45x = 0\)
\((2x^{4} - 5x^{3}) + (-18x^{2} + 45x) = 0\)
\(x^{3}(2x - 5) - 9x(2x - 5) = 0\)
\((x^{3} - 9x)(2x - 5) = 0\)
\(x(x^{2} - 9)(2x - 5) = 0\)
\(x(x - 3)(x + 3)(2x - 5) = 0\)
или \(x = 0,\)
или \(x - 3 = 0\)
\(x = 3,\)
или \(x + 3 = 0\)
\(x = -3\)
или \(2x - 5 = 0\)
\(2x = 5\)
\(x = \frac52\)
\(x = 2,5\)
Ответ: \(x = 0,\; x = 3,\)
\(x = -3,\; x = 2,5.\)
Пояснения:
1. Метод группировки.
Многочлен разбивается на две части, в каждой из которых есть общий множитель. Например, в пункте а):
\( 3x^{3} - x^{2} = x^{2}(3x - 1),\)
\(18x - 6 = 6(3x - 1). \)
Появляется общий множитель
\((3x - 1)\).
2. Вынесение за скобки.
Если уравнение удалось представить как произведение множителей, то каждый множитель приравнивается к нулю. Используется правило:
\( ab = 0,\) если \(a = 0\) или \( b = 0. \)
3. Формула разности квадратов.
В пункте б) используется разложение: \[ x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3). \]
№218 учебника 2014-2022 (стр. 70):
\(x^2 + px + q\)
\(x_1 = p, \; x_2 = q\).
\(p\neq0\), \(q\neq0\).
По теореме Виета:
\(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1\cdot x_2 = q\).
Составим систему уравнений:
\( \begin{cases} p+q=-p,\\ pq=q / : q \end{cases} \)
\( \begin{cases} q=-p - p,\\ p=1 \end{cases} \)
\( \begin{cases} q=-2p,\\ p=1 \end{cases} \)
\( \begin{cases} q=-2\cdot1,\\ p=1 \end{cases} \)
\( \begin{cases} q=-2,\\ p=1 \end{cases} \)
\(x^2 + x -2\)
Ответ: трёхчлен \(x^2 + x - 2\).
Пояснения:
По теореме Виета:
\(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1\cdot x_2 = q\).
Корни трёхчлена заданы как \(p\) и \(q\).
Составили систему уравнений:
\( \begin{cases} p+q=-p,\\ pq=q \end{cases} \).
При решении системы сначала нашли \(q\), а затем подстановкой нашли \(p\).
Получили трёхчлен: \[ x^2 + x - 2. \]
Вернуться к содержанию учебника