Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№215 учебника 2023-2026 (стр. 77):
Если ребро куба увеличить на 3 см, то его объём увеличится на \(513\ \text{см}^3\). Чему равно ребро куба?
№215 учебника 2014-2022 (стр. 70):
Составьте какой-нибудь квадратный трёхчлен, корнями которого являются числа:
а) \(-7\) и \(2\);
б) \(3 - \sqrt{2}\) и \(3 + \sqrt{2}\).
№215 учебника 2023-2026 (стр. 77):
Вспомните:
№215 учебника 2014-2022 (стр. 70):
Вспомните:
№215 учебника 2023-2026 (стр. 77):
Пусть исходное ребро куба равно \(x\) см, тогда его объем \(x^3\) см3. Новый куб имеет ребро \(x + 3\), тогда его объем \((x+3)^3\) см3. Известно, что объем нового куба на \(513\) см3 больше.
Составим уравнение:
\((x + 3)^{3} - x^{3} = 513\)
\(\cancel{x^{3}} + 9x^{2} + 27x + 27 - \cancel{x^{3}} = 513\)
\(9x^{2} + 27x + 27 = 513\)
\(9x^{2} + 27x + 27 - 513 = 0\)
\(9x^{2} + 27x - 486 = 0\) \(/ : 9\)
\(x^{2} + 3x - 54 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -54\)
\(D =b^2 - 4ac =\)
\(=3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-54) =\)
\(= 9 + 216 = 225.\)
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{D} = 15.\)
\(x_1 = \frac{-3 + 15}{2\cdot1} = \frac{12}{2} = 6.\)
\(x_2 = \frac{-3 - 15}{2\cdot1} = \frac{-18}{2} = -9\) - не удовлетворяет условию.
Ответ: ребро куба равно \(6\) см.
Пояснения:
1. Формула объёма куба:
\[V = a^{3},\]
где \(a\) — длина ребра.
2. При увеличении ребра на 3 см новый объём равен:
\[(x + 3)^{3}.\]
3. Условие задачи означает разность объёмов:
\[(x + 3)^{3} - x^{3} = 513.\]
4. Используем формулу куба суммы:
\[(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}.\]
Подставив \(a=x\) и \(b=3\), получили выражение \(x^{3} + 9x^{2} + 27x + 27\).
5. После сокращения и переноса получили квадратное уравнение, которое решается по дискриминанту.
6. Второй корень отрицательный, а длина ребра не может быть отрицательной, поэтому верный ответ один: \(x = 6\).
№215 учебника 2014-2022 (стр. 70):
а) \(x_1 = -7\) и \(x_2 = 2\)
\( (x+7)(x-2) = x^2 - 2x + 7x -14=\)
\(=x^2 + 5x - 14 \)
Ответ: \(x^2 + 5x - 14.\)
б) \(x_1 = 3 - \sqrt{2}\) и \(x_2 = 3 + \sqrt{2}\)
\( (x-(3-\sqrt{2}))(x-(3+\sqrt{2}))=\)
\(= (x-3+\sqrt{2})(x-3-\sqrt{2}) =\)
\(=(x-3)^2 - (\sqrt{2})^2= \)
\( = (x-3)^2 - 2 = \)
\(=x^2 - 6x + 9 - 2 =\)
\(=x^2 - 6x + 7. \)
Ответ: \(x^2 - 6x + 7.\)
Пояснения:
Чтобы составить квадратный трёхчлен по корням \(x_1\) и \(x_2\), используем формулу:
\( (x - x_1)(x - x_2) = x^2 + bx + c \)
Использованные приемы:
- Умножение многочлена на многочлен:
\((a + b)(c - d) = ac -ad + bc - bd\).
- Подобные слагаемые:
\(ax + bx = (a + b)x\).
- Раскрытие скобок:
\(a + (b -c) = a + b - c\);
\(a - (b -c) = a - b + c\).
- Разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).
- Квадрат разности двух выражений:
\((a - b)^ 2 = a^2 - 2ab + b^2\)
- Свойство корня:
\((\sqrt a)^2 = a\).
Вернуться к содержанию учебника