Упражнение 217 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y^{3} - 6y = 0\)

\(y(y^{2} - 6) = 0\)

\(y = 0\)   или   \( y^{2} - 6 = 0\)

                      \( y^{2} = 6\)

                      \(y = \pm\sqrt{6}\)

Ответ: \(y = 0,\) \(y = -\sqrt{6}\), \(y = \sqrt{6}.\)

б) \(6x^{4} + 3{,}6x^{2} = 0\)

\(x^{2}(6x^{2} + 3{,}6) = 0\)

\(x^{2} = 0\) или \(6x^{2} + 3{,}6 = 0\)

\(x = 0\)          \(6x^{2} = -3{,}6\)

                    \(x^{2} = -\frac{3,6}{0{,}6}\)

                    \(x^{2} = -0{,}6\) - нет корней.

Ответ: \(x = 0\).

в) \(x^{3} + 3x = 3{,}5x^{2}\)

\(x^{3} - 3{,}5x^{2} + 3x = 0\)

\(x(x^{2} - 3{,}5x + 3) = 0\)

\(x = 0\)    или

\( x^{2} - 3{,}5x + 3 = 0 \)   \(/\times 2\)

\( 2x^{2} - 7x + 6 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = -7\),  \(c = 6\)

\( D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-7)^{2} - 4\cdot2 \cdot 6 = \)

\(= 49 - 48 = 1.\)

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \( \sqrt{D} =1. \)

\( x_1 = \frac{7 + 1}{2\cdot2} = \frac{8}{4} = 2.\)

\( x_2 = \frac{7 - 1}{2\cdot2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5.\)

Ответ: \(x = 0,\; x = 2,\; x = 1{,}5.\)

г) \(x^{3} - 0{,}1x = 0{,}3x^{2}\)

\(x^{3} - 0{,}3x^{2} - 0{,}1x = 0\)

\(x(x^{2} - 0{,}3x - 0{,}1) = 0\)

\(x = 0\)   или

\( x^{2} - 0{,}3x - 0{,}1 = 0 \)   \(/\times 10\)

\( 10x^{2} - 3x - 1 = 0 \) 

\(a =10\),   \(b = -3\)  \(c = -1\)

\( D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-3)^{2} - 4\cdot10\cdot (-1) =\)

\(= 9 + 40 = 49.\)

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 7. \)

\( x_1 = \frac{3 + 7}{2\cdot10} =\frac{10}{20} = \frac12 = 0{,}5.\)

\( x_2 = \frac{3 - 7}{2\cdot10} =\frac{-4}{20} = -\frac15 = -0{,}2.\)

Ответ: \(x = 0,\; x = 0{,}5,\; x = -0{,}2.\)

д) \(9x^{3} - 18x^{2} - x + 2 = 0\)

\(9x^{2}(x - 2) - (x - 2) = 0\)

\((x - 2)(9x^{2} - 1) = 0\)

\((x - 2)(3x - 1)(3x + 1) = 0\)

или  \(x-2=0\)

        \(x = 2\)

или  \(3x - 1=0\)

         \(3x = 1\)

         \(x = \frac13\)

или  \(3x + 1=0\)

         \(3x = -1\)

         \(x = -\frac13\)

Ответ: \(x = 2,\; x = \dfrac{1}{3},\; x = -\dfrac{1}{3}.\)

е) \(y^{4} - y^{3} - 16y^{2} + 16y = 0\)

\(y^{3}(y - 1) - 16y(y - 1) = 0\)

\((y^{3} - 16y)(y - 1) = 0\)

\(y(y^{2} - 16)(y - 1) = 0\)

\(y(y - 4)(y + 4)(y-1) = 0\)

или  \(y = 0,\)

или  \(y - 4 = 0\)

        \(y = 4,\)

или  \(y + 4 = 0\)

        \(y = -4,\)

или  \(y - 1 = 0\)

        \(y = 1.\)

Ответ: \(y = 0,\; y = 1,\)

\(y = 4,\; y = -4.\)

ж) \(p^{3} - p^{2} = p - 1\)

\(p^{3} - p^{2} - p + 1 = 0\)

\(p^{2}(p - 1) - (p - 1) = 0\)

\((p - 1)(p^{2} - 1) = 0\)

\((p - 1)(p - 1)(p + 1)=0\)

\((p - 1)^{2}(p + 1) = 0\)

\(p - 1 = 0\)   или   \(p + 1 = 0\)

\(p = 1\)                   \(p = -1\)

Ответ: \(p = 1,\; p = -1.\)

з) \(x^{4} - x^{2} = 3x^{3} - 3x\)

\(x^{4} - 3x^{3} - x^{2} + 3x = 0\)

\(x^{3}(x - 3) - x(x - 3) = 0\)

\((x^{3} - x)(x - 3) = 0\)

\(x(x^{2} - 1)(x - 3) = 0\)

\(x(x - 1)(x + 1)(x - 3) = 0\)

или  \(x = 0,\)

или  \(x - 1 = 0\)

        \(x = 1,\)

или  \(x + 1 = 0\)

        \(x = -1,\)

или  \(x - 3 = 0\)

        \(x = 3.\)

Ответ: \(x = 3,\; x = 0,\)

\(x = 1,\; x = -1.\)

---

Пояснения:

В этих уравнениях основная идея — свести выражение к произведению множителей. Используются несколько стандартных приёмов.

1. Вынесение общего множителя за скобки.

Если во всех слагаемых есть общий множитель, его можно вынести:

\( a^{3} - 6a = a(a^{2} - 6),\)

\(x^{2}(6x^{2} + 3{,}6),\)

\(x(x^{2} - 3{,}5x + 3). \)

После этого получается уравнение, у которого в левой части стоит произведение множителей, а в правой - нуль. Затем каждый множитель приравнивается к нулю, учитывая то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

2. Группировка слагаемых.

Иногда удобно разбить выражение на группы. В каждой группе выносится общий множитель, после чего появляется общий множитель для всего выражения.

3. Формула разности квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

Она позволяет дальше разложить многочлен на множители, как в задачах д), ж), з).

4. Решение квадратных уравнений.

Когда после разложения остаётся квадратный множитель, он решается по формуле:

\( ax^{2} + bx + c = 0,\)

\(D = b^{2} - 4ac,\)

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \)

Так были найдены корни в пунктах в) и г).

5. Перенос всех членов в одну часть уравнения.

Если в уравнении в правой части стоит выражение, отличное от нуля, то сначала всё переносят в одну сторону, как в пунктах в), г), ж), з). После этого уже применяют разложение на множители.

а) \(2x^2 - 10x + 3=0\)

\(a=2, b=-10, c=3\)

\(D =b^2 - 4ac= (-10)^2 - 4\cdot 2 \cdot 3 =\)

\(=100 - 24 = 76 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

По теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}=-\frac{-10}{2}=5\)

\(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}=\frac32=1,5\)

Ответ: сумма \(5\), произведение \(1,5\).

б) \(\frac{1}{3}x^2 + 7x - 2=0\)     \(/\times3\)

\(x^2 + 21x - 6=0\)

\(a=1, b=21, c=-6.\)

\(D =b^2-4ac = 21^2 - 4 \cdot 1\cdot (-6) =\)

\(=441 + 24 = 465 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

По теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = -b=-21\)

\(x_1 \cdot x_2 = c=-6\)

Ответ: сумма \(-21\), произведение \(-6\).

в) \(0,5x^2 + 6x + 1=0\)     \(/\times2\)

\(x^2 + 12x + 2=0\)

\(a=1, b=12, c=2.\)

\(D =b^2 - 4ac= 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 =\)

\(=144 - 8 = 136 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

По теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = -b=-12\)

\(x_1 \cdot x_2 = c=2\)

Ответ: сумма \(-12\), произведение \(2\).

г) \(-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}=0\)     \(/\times(-6)\)

\(3x^2 - 2x - 3 =0\)

\(a=3, b=2, c=-3.\)

\(D = b^2 - 4ac=2^2 - 4\cdot3\cdot(-3)=\)

\(=4 + 36 = 40> 0\) - уравнение имеет 2 корня

По теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}=-\frac{-2}{3}=\frac23\)

\(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}=\frac{-3}{3}=-1\)

Ответ: сумма \(\frac{2}{3}\), произведение \(-1\).

---

Пояснения:

Чтобы доказать существование корней, нужно проверить, что дискриминант \(D = b^2 - 4ac > 0\). Для нахождения суммы и произведения корней использовали теорему Виета:

\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\)

\(x_1 x_2 = \frac{c}{a}. \)

При \(a = 1\):

\(x_1 + x_2 = -b,\)

\(x_1 \cdot x_2 = c.\)

Также для упрощения вычислений учли то, что корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить на одно и то же число.