Вернуться к содержанию учебника
Решите уравнение:
а) \(y^{3} - 6y = 0;\)
б) \(6x^{4} + 3{,}6x^{2} = 0;\)
в) \(x^{3} + 3x = 3{,}5x^{2};\)
г) \(x^{3} - 0{,}1x = 0{,}3x^{2};\)
д) \(9x^{3} - 18x^{2} - x + 2 = 0;\)
е) \(y^{4} - y^{3} - 16y^{2} + 16y = 0;\)
ж) \(p^{3} - p^{2} = p - 1;\)
з) \(x^{4} - x^{2} = 3x^{3} - 3x.\)
Вспомните:
а) \(y^{3} - 6y = 0\)
\(y(y^{2} - 6) = 0\)
\(y = 0\) или \( y^{2} - 6 = 0\)
\( y^{2} = 6\)
\(y = \pm\sqrt{6}\)
Ответ: \(y = 0,\) \(y = -\sqrt{6}\), \(y = \sqrt{6}.\)
б) \(6x^{4} + 3{,}6x^{2} = 0\)
\(x^{2}(6x^{2} + 3{,}6) = 0\)
\(x^{2} = 0\) или \(6x^{2} + 3{,}6 = 0\)
\(x = 0\) \(6x^{2} = -3{,}6\)
\(x^{2} = -\frac{3,6}{0{,}6}\)
\(x^{2} = -0{,}6\) - нет корней.
Ответ: \(x = 0\).
в) \(x^{3} + 3x = 3{,}5x^{2}\)
\(x^{3} - 3{,}5x^{2} + 3x = 0\)
\(x(x^{2} - 3{,}5x + 3) = 0\)
\(x = 0\) или
\( x^{2} - 3{,}5x + 3 = 0 \) \(/\times 2\)
\( 2x^{2} - 7x + 6 = 0 \)
\(a = 1\), \(b = -7\), \(c = 6\)
\( D = b^2 - 4ac =\)
\(=(-7)^{2} - 4\cdot2 \cdot 6 = \)
\(= 49 - 48 = 1.\)
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \( \sqrt{D} =1. \)
\( x_1 = \frac{7 + 1}{2\cdot2} = \frac{8}{4} = 2.\)
\( x_2 = \frac{7 - 1}{2\cdot2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5.\)
Ответ: \(x = 0,\; x = 2,\; x = 1{,}5.\)
г) \(x^{3} - 0{,}1x = 0{,}3x^{2}\)
\(x^{3} - 0{,}3x^{2} - 0{,}1x = 0\)
\(x(x^{2} - 0{,}3x - 0{,}1) = 0\)
\(x = 0\) или
\( x^{2} - 0{,}3x - 0{,}1 = 0 \) \(/\times 10\)
\( 10x^{2} - 3x - 1 = 0 \)
\(a =10\), \(b = -3\) \(c = -1\)
\( D = b^2 - 4ac =\)
\(=(-3)^{2} - 4\cdot10\cdot (-1) =\)
\(= 9 + 40 = 49.\)
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{D} = 7. \)
\( x_1 = \frac{3 + 7}{2\cdot10} =\frac{10}{20} = \frac12 = 0{,}5.\)
\( x_2 = \frac{3 - 7}{2\cdot10} =\frac{-4}{20} = -\frac15 = -0{,}2.\)
Ответ: \(x = 0,\; x = 0{,}5,\; x = -0{,}2.\)
д) \(9x^{3} - 18x^{2} - x + 2 = 0\)
\(9x^{2}(x - 2) - (x - 2) = 0\)
\((x - 2)(9x^{2} - 1) = 0\)
\((x - 2)(3x - 1)(3x + 1) = 0\)
или \(x-2=0\)
\(x = 2\)
или \(3x - 1=0\)
\(3x = 1\)
\(x = \frac13\)
или \(3x + 1=0\)
\(3x = -1\)
\(x = -\frac13\)
Ответ: \(x = 2,\; x = \dfrac{1}{3},\; x = -\dfrac{1}{3}.\)
е) \(y^{4} - y^{3} - 16y^{2} + 16y = 0\)
\(y^{3}(y - 1) - 16y(y - 1) = 0\)
\((y^{3} - 16y)(y - 1) = 0\)
\(y(y^{2} - 16)(y - 1) = 0\)
\(y(y - 4)(y + 4)(y-1) = 0\)
или \(y = 0,\)
или \(y - 4 = 0\)
\(y = 4,\)
или \(y + 4 = 0\)
\(y = -4,\)
или \(y - 1 = 0\)
\(y = 1.\)
Ответ: \(y = 0,\; y = 1,\)
\(y = 4,\; y = -4.\)
ж) \(p^{3} - p^{2} = p - 1\)
\(p^{3} - p^{2} - p + 1 = 0\)
\(p^{2}(p - 1) - (p - 1) = 0\)
\((p - 1)(p^{2} - 1) = 0\)
\((p - 1)(p - 1)(p + 1)=0\)
\((p - 1)^{2}(p + 1) = 0\)
\(p - 1 = 0\) или \(p + 1 = 0\)
\(p = 1\) \(p = -1\)
Ответ: \(p = 1,\; p = -1.\)
з) \(x^{4} - x^{2} = 3x^{3} - 3x\)
\(x^{4} - 3x^{3} - x^{2} + 3x = 0\)
\(x^{3}(x - 3) - x(x - 3) = 0\)
\((x^{3} - x)(x - 3) = 0\)
\(x(x^{2} - 1)(x - 3) = 0\)
\(x(x - 1)(x + 1)(x - 3) = 0\)
или \(x = 0,\)
или \(x - 1 = 0\)
\(x = 1,\)
или \(x + 1 = 0\)
\(x = -1,\)
или \(x - 3 = 0\)
\(x = 3.\)
Ответ: \(x = 3,\; x = 0,\)
\(x = 1,\; x = -1.\)
Пояснения:
В этих уравнениях основная идея — свести выражение к произведению множителей. Используются несколько стандартных приёмов.
1. Вынесение общего множителя за скобки.
Если во всех слагаемых есть общий множитель, его можно вынести:
\( a^{3} - 6a = a(a^{2} - 6),\)
\(x^{2}(6x^{2} + 3{,}6),\)
\(x(x^{2} - 3{,}5x + 3). \)
После этого получается уравнение, у которого в левой части стоит произведение множителей, а в правой - нуль. Затем каждый множитель приравнивается к нулю, учитывая то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
2. Группировка слагаемых.
Иногда удобно разбить выражение на группы. В каждой группе выносится общий множитель, после чего появляется общий множитель для всего выражения.
3. Формула разности квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
Она позволяет дальше разложить многочлен на множители, как в задачах д), ж), з).
4. Решение квадратных уравнений.
Когда после разложения остаётся квадратный множитель, он решается по формуле:
\( ax^{2} + bx + c = 0,\)
\(D = b^{2} - 4ac,\)
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \)
Так были найдены корни в пунктах в) и г).
5. Перенос всех членов в одну часть уравнения.
Если в уравнении в правой части стоит выражение, отличное от нуля, то сначала всё переносят в одну сторону, как в пунктах в), г), ж), з). После этого уже применяют разложение на множители.
Вернуться к содержанию учебника