Упражнение 224 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^{4} - 25x^{2} + 144 = 0\)

Пусть \(x^{2} = t \ge 0\).

\(t^{2} - 25t + 144 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -25\),  \(c = 144\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-25)^2 - 4\cdot1\cdot 144 =\)

\(=625 - 576 = 49 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 7.\)

\( t_{1} = \frac{25 + 7}{2\cdot1} = \frac{32}{2} = 16.\)

\( t_{2} = \frac{25 - 7}{2\cdot1} = \frac{18}{2} = 9.\)

1) Если \(t = 16\), то

\(x^{2} = 16\)

\(x = \pm\sqrt{16}\)

\(x = \pm 4\)

2) Если \(t = 9\), то

\(x^{2} = 9\)

\(x = \pm\sqrt9\)

\(x = \pm 3\)

Ответ: \(x = -4,\; -3,\; 3,\; 4.\)

б) \(y^{4} + 14y^{2} + 48 = 0\)

Пусть \(y^{2} = t\).

\(t^{2} + 14t + 48 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 14\),  \(c = 48\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=14^2 - 4\cdot1\cdot 48 =\)

\(=196 - 192 = 4 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 2.\)

\( t_{1} = \frac{-14 + 2}{2\cdot1} = \frac{-12}{2} = -6 < 0\) - не удовлетворяет условию.

\( t_{2} = \frac{-14 - 2}{2\cdot1} = \frac{-16}{2} = -8 < 0\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: корней нет.

в) \(x^{4} - 4x^{2} + 4 = 0\)

Пусть \( x^{2} = t\).

\(t^{2} - 4t + 4 = 0\)

\((t - 2)^{2} = 0\)

\(t - 2 = 0\)

\(t = 2\)

\(x^{2} = 2 \)

\(x = \pm \sqrt{2}\)

Ответ: \(x = \pm \sqrt{2}.\)

г) \(t^{4} - 2t^{2} - 3 = 0\)

Пусть \(t^{2} = x\).

\(x^{2} - 2x - 3 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -3\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot (-3) =\)

\(=4 + 12 = 16> 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 4.\)

\( x_{1} = \frac{2 + 4}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3.\)

\( x_{2} = \frac{2 - 4}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1 < 0\) - не удовлетворяет условию.

Если \(x = 3\), то

\(t^{2} = 3 \)

\(t = \pm \sqrt{3}\)

Ответ: \(t = \sqrt{3}; -\sqrt{3}.\)

д) \(2x^{4} - 9x^{2} + 4 = 0\)

Пусть \(x^{2}= t\).

\(2t^{2} - 9t + 4 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = -9\),  \(c = 4\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-9)^2 - 4\cdot2\cdot 4 =\)

\(= 81 - 32 = 49 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 7.\)

\( t_{1} = \frac{9 + 7}{2\cdot2} = \frac{16}{4} = 4.\)

\( t_{2} = \frac{9 - 7}{2\cdot2} = \frac{2}{4} = \frac12=0,5.\)

Если \(t = 4\), то

\(x^{2} = 4 \)

\(x = \pm\sqrt4\)

\(x = \pm 2\)

Если \(t = 0,5\), то

\(x^{2} = 0,5\)

\(x = \pm \sqrt{0,5}\)

Ответ: \(x = \pm 2,\; \pm \sqrt{0,5}.\)

е) \(5y^{4} - 5y^{2} + 2 = 0.\)

Пусть \( y^{2}=t\).

\(5t^{2} - 5t + 2 = 0\)

\(a = 5\),  \(b = -5\),  \(c = 2\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-5)^2 - 4\cdot5\cdot 2 =\)

\(= 25 - 40 = -15 < 0\) - действительных корней нет.

Ответ: корней нет.

Пояснения:

1. Биквадратное уравнение имеет вид \[ a x^{4} + b x^{2} + c = 0. \] В таких уравнениях выполняют замену

\( x^{2} = t, \) тогда \(x^4 = (x^2)^2 = t^2.\)

Тогда уравнение превращается в обычное квадратное:

\[ a t^{2} + bt + c = 0, \]

которое решаем через дискриминант:

\(D =b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.

2. После нахождения значений \(t\) решают уравнения вида \[ x^{2} = t, \] оставляя только те, у которых \(t \ge 0\), ведь квадрат числа не может быть отрицательным, получая \(x = \pm \sqrt t\).

а) \(0{,}8x^2 - 19{,}8x - 5 = 0\)    \(/\times5\)

\(4x^2 - 99x - 25=0\)

\(a = 4\),  \(b = -99\),  \(c = -25\)

\(D =b^2 - 4ac=\)

\(=(-99)^2 - 4\cdot 4 \cdot (-25) =\)

\(=9801 + 400 = 10201,\)

\(\sqrt D = 101.\)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\( x_1 = \frac{-(-99) + 101}{2\cdot4} = \frac{200}{8} = 25\)

\( x_2 =\frac{-(-99) - 101}{2\cdot4}= \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}\).

 \( 0{,}8x^2 - 19{,}8x - 5 =\)

\(=0,8(x-25)(x+\frac{1}{4}) =\)

\(=(x-25)(0,8x + 0,2)\).

б) \(3{,}5 - 3\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}x^2 = 0\)

\(\frac72 - \frac{10}{3}x + \frac{2}{3}x^2 = 0\)     \(/\times6\)

\(21 - 20x + 4x^2 = 0\)

\(4x^2 - 20x + 21\)

\(a = 4\),  \(b = -20\),  \(c = 21\)

\(D =b^2 - 4ac=\)

\(=(-20)^2 - 4\cdot 4 \cdot 21 =\)

\(=400 - 336 = 64,\)    \(\sqrt D = 8\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \frac{-(-20) + 8}{2\cdot4} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2}\)

\(x_2 =\frac{-(-20) - 8}{2\cdot4}= \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\).

\( 3{,}5 - 3\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}x^2 =\)

\(=\frac{2}{3}(x - \frac{7}{2})(x - \frac{3}{2})=\)

\(=(x - 3,5)(\frac{2}{3}x - 1)\).

в) \(x^2 + x\sqrt{2} - 2=0\)

\(a= 1\),  \(b = \sqrt2\),   \(c = -2\).

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(\sqrt{2})^2 - 4\cdot 1 \cdot (-2) = \)

\(=2 + 8 = 10\),    \(\sqrt D = \sqrt10\)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} =  \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2} \)

\(x_2 = \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} \)

\( x^2 + x\sqrt{2} - 2 =\)

\(=\left(x - \tfrac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\right)\left(x + \tfrac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}\right). \)

г) \(x^2 - x\sqrt{6} + 1=0\)

\(a= 1\),  \(b = -\sqrt6\),   \(c = 1\).

\(D =b^2 - 4ac= (\sqrt{6})^2 - 4\cdot1\cdot1 =\)

\(=6 - 4 = 2\),     \(\sqrt D = \sqrt 2\)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\( x_1 = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\).

\( x_2 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\).

 \( x^2 - x\sqrt{6} + 1 = \)

\(=\left(x - \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)\left(x - \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right). \)

Пояснения:

Для разложения квадратного трёхчлена \(ax^2 + bx + c\) на множители использовали формулу для корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \] где \(D = b^2 - 4ac\). Далее трёхчлен представили как произведение множителей:

\(ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)\).

Для упрощения в некоторых случаях множитель \(a\) внесли в одну из скобок.