Вернуться к содержанию учебника
Найдите корни биквадратного уравнения:
а) \(x^{4} - 25x^{2} + 144 = 0;\)
б) \(y^{4} + 14y^{2} + 48 = 0;\)
в) \(x^{4} - 4x^{2} + 4 = 0;\)
г) \(t^{4} - 2t^{2} - 3 = 0;\)
д) \(2x^{4} - 9x^{2} + 4 = 0;\)
е) \(5y^{4} - 5y^{2} + 2 = 0.\)
Вспомните:
а) \(x^{4} - 25x^{2} + 144 = 0\)
Пусть \(x^{2} = t \ge 0\).
\(t^{2} - 25t + 144 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -25\), \(c = 144\)
\(D =b^2 - 4ac =\)
\(=(-25)^2 - 4\cdot1\cdot 144 =\)
\(=625 - 576 = 49 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{D} = 7.\)
\( t_{1} = \frac{25 + 7}{2\cdot1} = \frac{32}{2} = 16.\)
\( t_{2} = \frac{25 - 7}{2\cdot1} = \frac{18}{2} = 9.\)
1) Если \(t = 16\), то
\(x^{2} = 16\)
\(x = \pm\sqrt{16}\)
\(x = \pm 4\)
2) Если \(t = 9\), то
\(x^{2} = 9\)
\(x = \pm\sqrt9\)
\(x = \pm 3\)
Ответ: \(x = -4,\; -3,\; 3,\; 4.\)
б) \(y^{4} + 14y^{2} + 48 = 0\)
Пусть \(y^{2} = t\).
\(t^{2} + 14t + 48 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 14\), \(c = 48\)
\(D =b^2 - 4ac =\)
\(=14^2 - 4\cdot1\cdot 48 =\)
\(=196 - 192 = 4 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{D} = 2.\)
\( t_{1} = \frac{-14 + 2}{2\cdot1} = \frac{-12}{2} = -6 < 0\) - не удовлетворяет условию.
\( t_{2} = \frac{-14 - 2}{2\cdot1} = \frac{-16}{2} = -8 < 0\) - не удовлетворяет условию.
Ответ: корней нет.
в) \(x^{4} - 4x^{2} + 4 = 0\)
Пусть \( x^{2} = t\).
\(t^{2} - 4t + 4 = 0\)
\((t - 2)^{2} = 0\)
\(t - 2 = 0\)
\(t = 2\)
\(x^{2} = 2 \)
\(x = \pm \sqrt{2}\)
Ответ: \(x = \pm \sqrt{2}.\)
г) \(t^{4} - 2t^{2} - 3 = 0\)
Пусть \(t^{2} = x\).
\(x^{2} - 2x - 3 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\)
\(D =b^2 - 4ac =\)
\(=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot (-3) =\)
\(=4 + 12 = 16> 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{D} = 4.\)
\( x_{1} = \frac{2 + 4}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3.\)
\( x_{2} = \frac{2 - 4}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1 < 0\) - не удовлетворяет условию.
Если \(x = 3\), то
\(t^{2} = 3 \)
\(t = \pm \sqrt{3}\)
Ответ: \(t = \sqrt{3}; -\sqrt{3}.\)
д) \(2x^{4} - 9x^{2} + 4 = 0\)
Пусть \(x^{2}= t\).
\(2t^{2} - 9t + 4 = 0\)
\(a = 2\), \(b = -9\), \(c = 4\)
\(D =b^2 - 4ac =\)
\(=(-9)^2 - 4\cdot2\cdot 4 =\)
\(= 81 - 32 = 49 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{D} = 7.\)
\( t_{1} = \frac{9 + 7}{2\cdot2} = \frac{16}{4} = 4.\)
\( t_{2} = \frac{9 - 7}{2\cdot2} = \frac{2}{4} = \frac12=0,5.\)
Если \(t = 4\), то
\(x^{2} = 4 \)
\(x = \pm\sqrt4\)
\(x = \pm 2\)
Если \(t = 0,5\), то
\(x^{2} = 0,5\)
\(x = \pm \sqrt{0,5}\)
Ответ: \(x = \pm 2,\; \pm \sqrt{0,5}.\)
е) \(5y^{4} - 5y^{2} + 2 = 0.\)
Пусть \( y^{2}=t\).
\(5t^{2} - 5t + 2 = 0\)
\(a = 5\), \(b = -5\), \(c = 2\)
\(D =b^2 - 4ac =\)
\(=(-5)^2 - 4\cdot5\cdot 2 =\)
\(= 25 - 40 = -15 < 0\) - действительных корней нет.
Ответ: корней нет.
Пояснения:
1. Биквадратное уравнение имеет вид \[ a x^{4} + b x^{2} + c = 0. \] В таких уравнениях выполняют замену
\([ x^{2} = t,\) тогда \(x^4 = (x^2)^2 = t^2.\)
Тогда уравнение превращается в обычное квадратное:
\[ a y^{2} + bt + c = 0. \]
2. После нахождения значений \(t\) решают уравнения вида \[ x^{2} = t, \] оставляя только те, у которых \(t \ge 0\), ведь квадрат числа не может быть отрицательным.
3. Дискриминант показывает количество корней уравнения для переменной \(t\). Если дискриминант отрицательный или корень дает отрицательное значение \(t\) — действительных корней нет.
Вернуться к содержанию учебника