Упражнение 225 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y = x^{4} - 5x^{2} + 4\)

С осью \(y\): \(x = 0\):

\(y=0^4 - 5\cdot0^2 + 4 = 4\).

\((0;\,4)\) - точка пересечения с осью \(y\).

C осью \(x\): \(y =0\)

\(x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0.\)

Пусть \(x^{2} = t \ge 0\).

\(t^{2} - 5t + 4 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \(c = 4\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-5)^2 - 4\cdot1\cdot 4 =\)

\(=25 - 16 = 9 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 3.\)

\( t_{1} = \frac{5 + 3}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4.\)

\( t_{2} = \frac{5 - 3}{2\cdot1} = \frac{2}{2} = 1.\)

1) Если \(t = 4\), то

\(x^{2} = 4\)

\(x = \pm \sqrt4\)

\(x = \pm 2\)

2) Если \(t = 1\), то

\(x^{2} = 1 \)

\(x = \pm \sqrt1\)

\(x = \pm 2\)

\((-2,\,0),\; (-1,\,0),\; (1,\,0),\; (2,\,0)\) - точки пересечения с осью \(x\).

Ответ: \((0;\,4),\) \((-2,\,0),\)

\((-1,\,0),\; (1,\,0),\; (2,\,0).\)

б) \(y = x^{4} + 3x^{2} - 10\)

С осью \(y\): \(x = 0\).

\(y = 0^4 + 3\cdot0^2 - 10 = -10\).

\((0;\,-10)\) - точка пересечения с осью \(y\).

С осью \(x\): \(y = 0\)

\(x^{4} + 3x^{2} - 10 = 0.\)

Пусть \( x^{2} = t \ge 0\):

\(t^{2} + 3t - 10 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 3\),  \(c = -10\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=3^2 - 4\cdot1\cdot (-10) =\)

\(=9 + 40 = 49 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 7.\)

\( t_{1} = \frac{-3 +7}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2.\)

\( t_{2} = \frac{-3 -7}{2\cdot1} = \frac{-10}{2} = -5 < 0\) - не удовлетворяет условию.

Если \(t = 2\), то

\(x^{2} = 2 \)

\(x = \pm \sqrt{2}\)

\((-\sqrt{2},0)\), \((\sqrt{2},0)\) - точки пересечения с осью \(x\).

Ответ: \((0;\,-10),\) \((-\sqrt{2},0)\),

\((\sqrt{2},0).\)

в) \(y = x^{4} - 20x^{2} + 100\)

С осью \(y\): \(x=0\).

\(y = 0^4 - 20\cdot 0^2 + 100 =100\).

\((0;\,100)\) - точка пересечения с осью \(y\).

С осью \(x\): \(y = 0\).

\(x^{4} - 20x^{2} + 100 = 0\)

\(x^{2} = t\)

\(t^{2} - 20t + 100 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -20\),  \(c = 100\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-20)^2 - 4\cdot1\cdot 100 =\)

\(=400 - 400 = 0\) - уравнение имеет 1 корень.

\(t = \frac{-b}{2a} = \frac{20}{2\cdot1} = \frac{20}{2} = 10.\)

\(x^{2} = 10 \)

\(x = \pm \sqrt{10}\)

\((-\sqrt{10},0)\), \((\sqrt{10},0)\) - точки пересечения с осью \(x\).

Ответ: \((0;\,100),\) \((-\sqrt{10},0),\)

\((\sqrt{10},0).\)

г) \(y = 4x^{4} + 16x^{2}\)

С осью \(y\): \(x = 0\)

\(y= 4\cdot0^4 + 16 \cdot 0^2 = 0\).

\((0;\,0)\) - точка пересечения с осью \(y\).

С осью \(x\): \(y = 0\)

\(4x^{4} + 16x^{2} = 0\)

\(4x^{2}(x^{2} + 4) = 0\)

\(x^{2} = 0 \)  или  \(x^{2} + 4 = 0\)

\(x = 0\)            \(x^{2} = -4\) - нет корней.

\((0;\,0)\) - точка пересечения с осью \(x\).

Ответ: \((0;\,0).\)

Пояснения:

Для нахождения точки пересечения с осью \(Oy\) всегда подставляют \(x = 0\), потому что любая точка этой оси имеет вид \((0, y)\).

Для пересечения с осью \(Ox\) подставляют \(y = 0\), так как точки оси \(Ox\) имеют вид \((x, 0)\). Это всегда приводит к решению уравнения, полученного от правой части функции.

В данных задачах все уравнения являются биквадратными.

1. Биквадратное уравнение имеет вид \[ a x^{4} + b x^{2} + c = 0. \] В таких уравнениях выполняют замену

\( x^{2} = t, \) тогда \(x^4 = (x^2)^2 = t^2.\)

Тогда уравнение превращается в обычное квадратное:

\[ a t^{2} + bt + c = 0, \]

которое решаем через дискриминант:

\(D =b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.

2. После нахождения значений \(t\) решают уравнения вида \[ x^{2} = t, \] оставляя только те, у которых \(t \ge 0\), ведь квадрат числа не может быть отрицательным, получая \(x = \pm \sqrt t\).

\( mx^2 + (m-3)x - 3 = 0\)

\(a = m\),  \(b = m-3\),  \(c = -3\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\((m - 3)^2 -4\cdot m\cdot(-3)=\)

\(=m^2 - 6m + 9 +12m = \)

\( = m^2 +6m + 9 = (m+3) ^2 \ge 0\)

1) При \(m = -3\) уравнение имеет один корень, так как \(D = 0\)

\(x = \frac{-b}{2a} =\frac{-{m-3}}{2m}= \frac{-(-3-3)}{2\cdot(-3)} =\)

\(=\frac{6}{-6}= -1\) - целое число.

2) Если \(m\neq-3\) и \(m\neq0\), то уравнение имеет 2 корня, так как

\(D>0\).

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \frac{-(m-3) - (m + 3)}{2m}=\)

\(=\frac{-m+3 - m - 3}{2m} = \frac{-2m}{2m} = -1\)

\(x_2 = \frac{-(m-3) + (m + 3)}{2m}=\)

\(=\frac{-m+3 + m + 3}{2m}=\frac{\cancel6^3}{\cancel2m}=\frac3m\) - целое, если \(m = -1; 1; -3; 3\), но \(m \neq -3\).

При \(m = -1\):    \(x_2 = \frac{3}{-1} = -3\).

При \(m = 1\):    \(x_2 = \frac{3}{1} = 3\).

При \(m = 3\):    \(x_2 = \frac{3}{3} = 1\).

Ответ: при \(m=-3\):  \(x=-1\);

при \(m=1\):  \(x =3; -1\);

при \(m=-1\):   \(x=-1; -3\);

при \(m=3\):    \(x=1; -1\).

Пояснения:

Чтобы найти все целые корни, учли то, что квадратный трехчлен имеет один корень, если дискриминант равен нулю, и имеет два корня, если дискриминант больше нуля.