Вернуться к содержанию учебника
Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:
а) \(y = x^{4} - 5x^{2} + 4\);
б) \(y = x^{4} + 3x^{2} - 10\);
в) \(y = x^{4} - 20x^{2} + 100\);
г) \(y = 4x^{4} + 16x^{2}\).
Вспомните:
а) \(y = x^{4} - 5x^{2} + 4\)
С осью \(y\): \(x = 0\):
\(y=0^4 - 5\cdot0^2 + 4 = 4\).
\((0;\,4)\) - точка пересечения с осью \(y\).
C осью \(x\): \(y =0\)
\(x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0.\)
Пусть \(x^{2} = t \ge 0\).
\(t^{2} - 5t + 4 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 4\)
\(D =b^2 - 4ac =\)
\(=(-5)^2 - 4\cdot1\cdot 4 =\)
\(=25 - 16 = 9 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{D} = 3.\)
\( t_{1} = \frac{5 + 3}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4.\)
\( t_{2} = \frac{5 - 3}{2\cdot1} = \frac{2}{2} = 1.\)
1) Если \(t = 4\), то
\(x^{2} = 4\)
\(x = \pm \sqrt4\)
\(x = \pm 2\)
2) Если \(t = 1\), то
\(x^{2} = 1 \)
\(x = \pm \sqrt1\)
\(x = \pm 2\)
\((-2,\,0),\; (-1,\,0),\; (1,\,0),\; (2,\,0)\) - точки пересечения с осью \(x\).
Ответ: \((0;\,4),\) \((-2,\,0),\)
\((-1,\,0),\; (1,\,0),\; (2,\,0).\)
б) \(y = x^{4} + 3x^{2} - 10\)
С осью \(y\): \(x = 0\).
\(y = 0^4 + 3\cdot0^2 - 10 = -10\).
\((0;\,-10)\) - точка пересечения с осью \(y\).
С осью \(x\): \(y = 0\)
\(x^{4} + 3x^{2} - 10 = 0.\)
Пусть \( x^{2} = t \ge 0\):
\(t^{2} + 3t - 10 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -10\)
\(D =b^2 - 4ac =\)
\(=3^2 - 4\cdot1\cdot (-10) =\)
\(=9 + 40 = 49 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{D} = 7.\)
\( t_{1} = \frac{-3 +7}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2.\)
\( t_{2} = \frac{-3 -7}{2\cdot1} = \frac{-10}{2} = -5 < 0\) - не удовлетворяет условию.
Если \(t = 2\), то
\(x^{2} = 2 \)
\(x = \pm \sqrt{2}\)
\((-\sqrt{2},0)\), \((\sqrt{2},0)\) - точки пересечения с осью \(x\).
Ответ: \((0;\,-10),\) \((-\sqrt{2},0)\),
\((\sqrt{2},0).\)
в) \(y = x^{4} - 20x^{2} + 100\)
С осью \(y\): \(x=0\).
\(y = 0^4 - 20\cdot 0^2 + 100 =100\).
\((0;\,100)\) - точка пересечения с осью \(y\).
С осью \(x\): \(y = 0\).
\(x^{4} - 20x^{2} + 100 = 0\)
\(x^{2} = t\)
\(t^{2} - 20t + 100 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -20\), \(c = 100\)
\(D =b^2 - 4ac =\)
\(=(-20)^2 - 4\cdot1\cdot 100 =\)
\(=400 - 400 = 0\) - уравнение имеет 1 корень.
\(t = \frac{-b}{2a} = \frac{20}{2\cdot1} = \frac{20}{2} = 10.\)
\(x^{2} = 10 \)
\(x = \pm \sqrt{10}\)
\((-\sqrt{10},0)\), \((\sqrt{10},0)\) - точки пересечения с осью \(x\).
Ответ: \((0;\,100),\) \((-\sqrt{10},0),\)
\((\sqrt{10},0).\)
г) \(y = 4x^{4} + 16x^{2}\)
С осью \(y\): \(x = 0\)
\(y= 4\cdot0^4 + 16 \cdot 0^2 = 0\).
\((0;\,0)\) - точка пересечения с осью \(y\).
С осью \(x\): \(y = 0\)
\(4x^{4} + 16x^{2} = 0\)
\(4x^{2}(x^{2} + 4) = 0\)
\(x^{2} = 0 \) или \(x^{2} + 4 = 0\)
\(x = 0\) \(x^{2} = -4\) - нет корней.
\((0;\,0)\) - точка пересечения с осью \(x\).
Ответ: \((0;\,0).\)
Пояснения:
Для нахождения точки пересечения с осью \(Oy\) всегда подставляют \(x = 0\), потому что любая точка этой оси имеет вид \((0, y)\).
Для пересечения с осью \(Ox\) подставляют \(y = 0\), так как точки оси \(Ox\) имеют вид \((x, 0)\). Это всегда приводит к решению уравнения, полученного от правой части функции.
В данных задачах все уравнения являются биквадратными.
Биквадратное уравнение имеет вид \[ a x^{4} + b x^{2} + c = 0. \] В таких уравнениях выполняют замену
\( x^{2} = t,\) тогда \(x^4 = (x^2)^2 = t^2.\)
И уравнение превращается в обычное квадратное:
\[ a y^{2} + bt + c = 0. \]
После нахождения значений \(t\) решают уравнения вида \[ x^{2} = t, \] оставляя только те, у которых \(t \ge 0\), ведь квадрат числа не может быть отрицательным.
Дискриминант показывает количество корней уравнения для переменной \(t\). Если дискриминант отрицательный или корень дает отрицательное значение \(t\) — действительных корней нет.
Вернуться к содержанию учебника